第五节约束优化方法.ppt

5.1 基本概念: 机械优化设计问题和一般工程实际优化问题绝大多数属于约束优化设计问题约束优化设计数学模型 求解这类问题的方法称为约束优化方法第五节约束优化方法依据对约束条件处理方法的不同，可以将它分为两类：直接法解: 直接从可行域中寻找出它的约束最优解主要方法有约束坐标轮换法，随机方向搜索法，复合形法及可行向法优点:方法简单,直观性强,对函数无特殊要求缺点:计算量大,收敛慢,因而效率低间接法解: 将约束优化问题进行特殊加权处理，转化为无约束优化问题，然后，直接利用无约束优化方法进行求解主要方法有：消元法，拉格朗日乘子法，惩罚函数法特点：1、应用无约束优化方法来求解,使得间接解有可靠的理论基础，计算效率和稳定性都有较大的提高 2、加权因子迭取较为困难，迭取不当时会影响收敛速度和计算精度，甚至有可能导致失败5.2.复合形法1.基本原理：在n维空间的可行域中选取K个设计点（通常取 ） 作为初始复合形（多面体）的顶点然后比较复合形各顶点目标函数值的大小，其中目标函数值最大的点为坏点，以坏点之外其余各点的中心（即形心）为映射中心，寻找坏点的映射点，一般来说此映射点的目标函数总是小于坏点的，也就是说映射点优于坏点。

 这时，以映射点替换坏点，并与原复合形 除坏点之外其余各点构成K个顶点的新的复合形如此反复迭代计算，在可行域中不断以目标函数值最小的新点代替目的函数值最大的坏点，构成新复合形，从而使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的各顶点与形心非常接近，满足迭代精度要求为止最后输出复合形各顶点中的目标函数值最小的顶点作为近似最优点 下面我们以二维约束优化问题为例，来进一步说明：1)在可行域内选定4个点（这里K=2n=4）作为初始复合形的顶点2)计算这4个点的函数值，并作比较，确定函数值最大的坏点函数值最小的好点3)以 3 点的形心 为映射中心，寻找坏点 的映射点 式中 为映射点系数.一般 通常取 4)检查的可行性和下降性(1)若 在可行域之内,且 时,则用点 替换 点并组成新的复合形完成一次迭代2） 不在可行域内,第一种条件不满足,用 （映射系数减半），计算新的 再检查是否满足上述条件，若满足条件(1)，则用 替构成新的复合形,反之继续将 减半，当 减至很少（例如 时） 仍然达不到条件要求时，则可用次坏点 代替进行映射，组成新的迭代过程，这样可使复合形向着目标函数值减小的方向移动和收缩，直至逼近最优解。

1.初始复合形的产生 (1)对于维数较低，不很复杂的优化问题，可以人为地预先按实际情况决定K个可行设计点作为初始复合形的顶点初始复合形的全部K个顶点都必须在可行域内 (2)对于维数较高的优化问题,由设计者选定复合形的一个初始可行点，其余的K-1个可行点用随机方法产生具体过程如下：①确定一个可行点 作为初始复合形的第K个顶点.在区间 上给定一个点 ②产生其余 的K-1个可行点式中— — 复合形中的第j个顶点—设计变量的下限和上限区间内服从均匀分布的随机数 ③将非可行点调入可行域，构成初始复合形 随机产生的顶点，不一定都在可行域内，也须逐个检查 是否在可行 域内全部顶点都在可行域内，它们均作为初始复合形的顶点个顶点在可行域内1）求出己知可行域内L个点的点集中心 2）将不可行性点 首先将 (q=L+1)相当于第 个顶点向中心点 移动 ，如果移动后的 己进入可行域，则将 作为初始复合形的第L+1个顶点向中心点移动即设有非可行点如何调入可行域示意图否则继续按上式再次移动，产生新点，直至 成为可行点为止 3）其余非可行点 按上式方法处理，将其调入可行域，直到全部成为可行点，从而构成了可行域内的初始复合形。

1.复合形的迭代计算步骤： 教材中讲述了复合形的搜索方法（反向，扩张，收缩）这里仅采用反射法 这三个方法都源自一个公式 只是系数选取不同①给定设计变量维数n，变量界限范围 复合形顶点数目 精度要求 ，给定映射系数 ②产生初始复合形，得K 个顶点 ③计算复合形各顶点的目标函数值，找出 其中的最坏点 和最好点 ④计算除坏点外其余各顶点的中心 ⑤检查点的可行性Ⅰ)在可行域内，则转⑥， Ⅱ)若为非可行点，则重新调整设计变量 上限、下限值，则取 然后转回步骤②，重新构造初始复合形 ⑥求映射点 并检查 点是否在可行域内若 在可行域内则转⑦,否则缩小，即 继续计算 直至满足全部约束条件为止 ⑦计算 点的目标函数值 1) 则用替换最坏点即 构成新的复合形,完成 一次迭代,并转③. 2)缩小映射系数重新计算转⑥ 如果经过若干次缩小 值的计算 并使己缩小到给定一个很小的函数 （通常取), 仍不能使映射点优于最坏点，则说明映射方向不利,可将最坏点 换成次坏点 即:然后返回④计算映射点 计算除坏点外其余各顶点的中心  ⑧检查是否满足迭代终止条件常用各顶点与好点的目标函数值之差的均方根值小于误差作为终止迭代条件，即：若满足该条件，可将最后复合形的好点 结束迭代，否则返回④，继续进行下一次迭代。

输出最优解特点：复合形法不用计算目标函数的导数，也不需进行一维最优搜索，对目标函数和约束函数的性质无特别的要求，复合形的形状也不必保持规则的图形因此该法的适应性较强程序较简单，在优化设计中得到广泛应用但随着设计变量和约束条件增多，其计算效率显著下降。