北师版新课标高中数学必修一同步练习题利用不等式的性质证明不等式.docx

利用不等式的性质证明不等式 11. 已知 ??> ??> 0 ，求证：??2 -??2 ??2 +??2>??-?? ??+??．2. 证明下列不等式；(1)??(??- ??)≥??(? ??).(2) ? ≥2??- ??(??∈? )．3. 设??< ??< 0 ，试比较 (? + ? )(??- ??)与(??2 - ? )(??+ ??)的大小．1√1-??．1 1√1 + ??>4. 已知 ??> 0，??- ?? > 1 ，求证：5. 若??> ??> 0， ?? > 0 ，判断 的大小关系，并加以证明．参考答案 :1. 【答案】 证明： ∵??> ??> 0，∴(??2 +??2 )(??+??) > 0，??2-??2 ??-??2????(??-??)∴??2+??2 > ??+??．【解析】 本题考查利用不等式的性质比较大小，属基础题，应用作差法即可．2. 【答案】 解： (1) 证明：因为： ??(? ??)- ??(? ??)= (??- ??)(? ??)= (??- ??)2≥ 0， 所以： ??(? ??)≥ ??(? ??)(当且仅当 ??= ??时等式成立 )；(2) - ( 2??- ? ∵??∈??+， ( ??- ? 2 ≥0，∴ ? 2??- ??(??∈? )．【解析】 本题考查利用作差法比较两个数的大小，属基础题，难度不大．(1) 作差得 ??(? ??)- ??(? ?? 整理得一个完全平方，即可证明；(2) 左右两边作差，通分后成 ，因为 ??∈? ，即可证明原不等式成立．3. 【答案】 解： ( ? + ? )( ? ? - ( ? - ? )( ??+ ? = ?? - ????+ ????- ?? - ?? - ????+ ????+ ??3 2 2 3 3 2 2 3= 2?? ??- ? ，∵??< ??< 0，∴??? 0， ??- ??> 0，∴2????- ? > 0，∴( ? + ? )( ? ? > ( ? - ? )( ??+ ? ．【解析】 本题主要考查利用作差法比较大小，属于中档题．对两个式子作差，并整理成 2?? ??- ? ，根据 x， y 的范围可求得 2???(??- ? > 0，即可求解 .4. 【答案】 证明：由已知 > 1，及 ??> 0，可知 0 < ??< 1，要证 √1 + ??> √11-?? ，只需证 √1 + ?? ·√1 - ??> 1，只需证 1 + ??- ??- ??? 1 ，只需证 ??- ??- ??? 0，即 ????> 1 ，即 ??- ??> 1 ，这是已知条件，??-?? 1 1所以原不等式得证．【解析】 本题考查不等式的证明，属于中档题，利用分析法可证明此题，用分析法证明不等式要注意书写的格式，特点是执果索因逆流而上．5. 【答案】 解：< ，证明如下；作差，得；?? ??+ ?? ??(? ??) - ??(? ??)-?? ??+ ?? = ??(? ??)??? ????= ??(? ??)??(??-??)= ??(??+??)；∵??> ??> 0， ?? > 0，∴??- ??< 0， ??+ ?? > 0，∴??(??+??) < 0；??(??-??)∴< 【解析】 本题考查了不等式的基本性质的应用问题， 问题，是基础题目．< ，基本步骤是 (1) 作差，利用作差法，判断出也考查了作差法判断两个代数式的大小(2) 判断正负， (3) 确定大小．。