湖南省邵阳市高三上学期期末考试数学理试题.doc

2018届湖南省邵阳市高三上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A． B．C． D．2.已知复数满足：，且的实部为2，则（ ）A．3 B． C． D．43.若角的终边经过点，则（ ）A． B． C． D． 4.设命题：的展开式共有4项；命题：展开式的常数项为24；命题：的展开式中各项的二项式系数之和为16.那么，下列命题中为真命题的是（ ）A． B．C． D．5.设点是双曲线上一点，，，，，则（ ）A．2 B． C．3 D．6.执行下边的程序框图，若输入的，则输出的（ ）A．1 B．2 C．3 D．47.已知函数的部分图象如图所示，，则下列判断正确的是（ ）A．函数的最小正周期为4B．函数的图象关于直线对称C．函数的图象关于点对称D．函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象8.若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．9.某四棱柱截去一角后的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．54 B．45 C．27 D．8110.已知，是两个单位向量，则的最大值为（ ）A． B． C． D．11.在四面体中，底面，，，为棱的中点，点在上且满足，若四面体的外接球的表面积为，则（ ）A． B． C． D．212.过圆：的圆心的直线与抛物线：相交于，两点，且，则点到圆上任意一点的距离的最大值为（ ）A． B．2 C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设，满足约束条件，则的最小值为 ．14.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为 ．15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角、、所对的边分别为、、，面积为，则“三斜求积”公式为.若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为 ．16.若函数恰有2个零点，则的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设为数列的前项和，且.（1）若，判断数列的单调性；（2）若，求数列的前项和.18.某家电公司根据销售区域将销售员分成，两组.年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间，，，内对应的年终奖分别为2万元，2.5万元，3万元，3.5万元.已知销售员的年销售额都在区间内，将这些数据分成4组：，，，，得到如下两个频率分布直方图：以上面数据的频率作为概率，分别从组与组的销售员中随机选取1位，记，分别表示组与组被选取的销售员获得的年终奖.（1）求的分布列及数学期望；（2）试问组与组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？19.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，为棱上一点，且平面.（1）证明：为中点；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.在平面直角坐标系中，设动点到坐标原点的距离到轴的距离分别为，，且，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设过点的直线与相交于，两点，当的面积最大时，求.21.设函数.（1）设函数，若曲线在点处的切线方程为，求，的值；（2）当时，恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标轴，已知直线的极坐标方程为，，且.（1）求圆的极坐标方程；（2）设为直线与圆在第一象限的交点，求.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.2017年下学期期末考试试卷高三数学参考答案（理科）一、选择题1-5: DBCCC 6-10: BCBBA 11、12：DC二、填空题13. -3 14. 15. 16. 三、解答题17.解：（1）∵，∴，∵，∴.∴.于是，故数列单调递增.（2）∵，∴，∴，∴.18.解：（1）∵组销售员的销售额在，，，的频率分别为：0.2，0.3，0.2，0.3，则的分布列为：（元）200002500030000350000.20.30.20.3故（元）.（2）组销售员的销售额在，，，的频率分别为：0.1，0.35，0.35，0.2，则的分布列为：（元）200002500030000350000.10.350.350.2故（元）.∵，∴组销售员获得的年终奖的平均值更高.19.解：（1）证明：取的中点，连接，因为，所以为的中点，又为的中点，所以，因为平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四边形为平行四边形，则，所以为的中点.（2）解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨令正方体的棱长为2，则，，，，可得，，设是平面的法向量，则.令，得.易得平面的一个法向量为，所以.故所求锐二面角的余弦值为.20.解：（1）设，则，，则，故的方程为（或）.（2）依题意当轴不合题意，故设直线：，设，，将代入，得，当，即时，，，从而，从点到直线的距离，所以的面积，设，则，，当且仅当，即（满足）时等号成立，所以当的面积最大时，，.21.解：（1），则，又，∴解得，.（2）∵，∴当时，恒成立，①当时，设，，所以在上递增，且，故，所以.设，同理可得，则.②当时，设，，所以在上递增，且，故，所以当时，，，取，则，，所以，故当时不符合题意.综上可知，的取值范围为.22.解：（1）由，消去得，∴，∴，即，故圆的极坐标方程为.（2）∵，且，∴.将代入，得，∴.23.解：（1）由得，不等式两边同时平方得，解得，∴所求不等式的解集为.（2）当时，.∴即对恒成立，即对恒成立，又，∴且，∴. 。