高考数学一轮汇总训练《任意角和弧度制及任意角的三角函数》理 新人教A版.doc

第第一一节节 任任意意角角和和弧弧度度制制及及任任意意角角的的三三角角函函数数[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1.考查形式为选择题或填空题．2.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题，如 2011 年新课标全国 T5 等．3.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用，如 2012 年山东 T16 等.[归纳·知识整合]1．角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角α与β角的终边相同β＝α＋k·360°(k∈Z Z) (或β＝α＋k·2π，k∈Z Z)[探究] 1.终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差 360°的整数倍，相等的角终边一定相同．2．锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于 90°的角是锐角吗？提示：锐角是大于 0°且小于 90°的角，第一象限角不一定是锐角，如 390°，－300°都是第一象限角．小于 90°的角不一定是锐角，如 0°，－30°都不是锐角．2．弧度的概念与公式在半径为r的圆中分类定义(公式)1 弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示角α的弧度数公式|α|＝ (弧长用l表示)l r角度与弧度的换算①1°＝rad ②1 rad＝°π 180(180 π)弧长公式弧长l＝|α|r扇形的面积公式S＝lr＝ |α|·r21 21 23．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义y叫做α的正弦，记作 sin αx叫做α的余弦，记作 cos α叫做α的正切，记作y xtan α Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负各象限符号口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线[探究] 3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )9π 4A．2kπ＋45°(k∈Z Z) B．k·360°＋ π(k∈Z Z)9 4C．k·360°－315°(k∈Z Z) D．kπ＋(k∈Z Z)5π 4解析：选 C ∵ π＝ ×180°＝360°＋45°＝720°－315°，9 49 4∴与 π 终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z Z)．9 42．(教材习题改编)若角θ同时满足 sin θ＜0 且 tan θ＜0，则角θ的终边一定落在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选 D 由 sin θ＜0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由 tan θ＜0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．3．已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A．1 B．4 C．1 或 4 D．2 或 4解析：选 C 设扇形的弧长为l，半径为r，则Error!解之得l＝r＝2 或r＝1，l＝4，故圆心角θ＝1 或 4.4．(教材习题改编)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且 cos α＝－，则x的5 13值为________．解析：∵cos α＝＝＝－，－x－x2＋－62－xx2＋365 13∴Error!解之得x＝ .5 2答案：5 25．若点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标是________．2π 3解析：∵角 π 的终边落在第二象限，2 3∴可设P(x，y)，其中x＜0，y＞0，由题意得Error!即Error!∴P(－1，)．3答案：(－1，)3象限角及终边相同的角[例 1] (1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；3(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；6π 7θ 3(3)已知角α为第三象限角，试确定 2α的终边所在的象限．[自主解答] (1)∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，3π 3∴终边在直线y＝x上的角的集合为.3{α|α＝π 3＋kπ，k∈ Z Z}(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z Z)，6π 7∴＝＋(k∈Z Z)．θ 32π 72kπ 3依题意 0≤＋＜2π⇒－ ≤k＜，k∈Z Z.2π 72kπ 33 718 7∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，.θ 32π 720π 2134π 21(3)由α是第三象限角，得 π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z Z)，3π 2∴2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z Z)．∴角 2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．在(3)的条件下，判断为第几象限角？α 2解：∵π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z Z)，3π 2∴＋kπ＜＜＋kπ(k∈Z Z)．π 2α 23π 4当k＝2n(n∈Z Z)时，＋2nπ＜＜ π＋2nπ，π 2α 23 4当k＝2n＋1(n∈Z Z)时， π＋2nπ＜＜ π＋2nπ，3 2α 27 4∴为第二或第四象限角． α 2———————————————————1．由α所在的象限，确定所在象限的方法α n(1)由角α的范围，求出所在的范围；α n(2)通过分类讨论把角写成θ＋k·360°(k∈Z Z)的形式，然后判断所在象限．α n2．已知三角函数式的符号判断角所在的象限可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限．1．(1)已知角α＝2kπ－(k∈Z Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋π 5sin θ |sin θ|＋的值为( )|cos θ| cos θtan θ |tan θ|A．1 B．－1C．3 D．－3(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：(1)选 B 由α＝2kπ－(k∈Z Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象π 5限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以 sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.因此，y＝－1＋1－1＝－1.(2)选 B ∵点P(tan α，cos α)在第三象限，∴Error!∴α是第二象限角.三角函数的定义[例 2] 已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且 sin α＝，求 cos 32m4α，tan α的值．[自主解答] ∵由题设知x＝－，y＝m，3∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，3得r＝.3＋m2从而 sin α＝ ＝＝，m r2m4m2 2∴r＝＝2，于是 3＋m2＝8，解得m＝±.3＋m225当m＝时，r＝2，x＝－，523∴cos α＝－＝－，tan α＝－；32 264153当m＝－时，r＝2，x＝－，523∴cos α＝＝－，tan α＝.－ 32 264153———————————————————利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：①角的终边上任意一个 异于原点的点的横坐标x；②纵坐标y；③该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．2．已知角α的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线 3x＋4y＝0 上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5|t|.x2＋y24t2＋－3t2当t＞0 时，即x>0 时，r＝5t，sin α＝ ＝＝－ ，cos α＝ ＝＝ ，y r－3t 5t3 5x r4t 5t4 5tan α＝ ＝＝－ ；y x－3t 4t3 4当t＜0 时，即x0 部分时，sin α＝－ ，cos α＝ ，tan α＝－ ；3 54 53 4当角α的终边在直线 3x＋4y＝0 的x<0 部分时，sin α＝ ，cos α＝－ ，tan α＝－ .3 54 53 4弧度制下扇形弧长与面积公式的应用[例 3] 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．π 3[自主解答] (1)∵α＝60°＝，R＝10 cm，π 3∴l＝Rα＝10×＝ cm.π 310π 3(2)∵扇形的周长 20，∴2R＋l＝20，即 2R＋Rα＝20，∴S＝R2α＝R(20－2R)＝－R2＋10R1 21 2＝－(R－5)2＋25，∴当R＝5 时，扇形的面积最大，此时α＝＝2，20－10 5即α＝2 弧度时，这个扇形的面积最大．(3)S弓形＝R2α－R2sin1 21 2π 3＝ ×4×－ ×4×1 2π 31 232＝－，2π 33即弓形的面积为－ cm2.2π 33若将本例(1)中的“R＝10 cm”改为“扇形的弦AB＝10 cm”求扇形的弧长l.2解：由题意得＝sin 30°，即R＝10，5 2R2故弧长l＝Rα＝10×＝ cm. 2π 310 2π3———————————————————弧度制的应用(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，1 21 2α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积．3．已知在半径为 10 的圆O中，弦AB的长为 10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：(1)如图所示，过O作OC⊥AB于点C，则AC＝5，在 Rt△ACO中，sin∠AOC＝＝＝ ，AC AO5 101 2∴∠AOC＝30°，∴α＝2∠AOC＝60°.(2)∵60°＝，π 3∴l＝|α|r＝.10π 3S扇＝lr＝ ××10＝.1 21 210π 350π 3又S△AOB＝ ×10×10sin ＝25，1 2π 33∴S弓形＝S扇－S△AOB＝－25＝50.50π 33(π 3－32)1 条规律——三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2 个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．4 个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题(1)第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用 180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)要熟记 0°～360°间特殊角的弧度表示．(4)要注意三角函数线是有向线段. 创新交汇——三角函数的定义与向量的交汇问题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大．[典例] (2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为OPuuu r________．[解析] 因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧＝2，即。