高中数学之三角函数类型题.doc

高中数学之三角函数类型题：1．．已知 tanx=2，求 sinx，cosx 的值．解：解：因为，又 sin2x＋cos2x=1，2cossintanxxx联立得 周1cossincos2sin22xxxx解这个方程组得.55cos552sin ,55cos552sin    xxxx2．．求的值．)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(oooooo解：解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(ooooooooooo. 3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tanoooooo3．．若，求 sinxcosx 的值．, 2cossincossin xxxx解：解：法一：因为, 2cossincossin xxxx所以 sinx－cosx=2(sinx＋cosx)， 得到 sinx=－3cosx，又 sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得周周    1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx所以103cossinxx法二：因为, 2cossincossin xxxx所以 sinx－cosx=2(sinx＋cosx)， 所以(sinx－cosx)2=4(sinx＋cosx)2， 所以 1－2sinxcosx=4＋8sinxcosx，所以有103cossinxx4．．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x． 证明：证明：法一：右边＝tan2x－sin2x=tan2x－(tan2x·cos2x)=tan2x(1－cos2x)=tan2x·sin2x，问题得证． 法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．5．．求函数在区间[0，2]上的值域．)6π 2sin(2xy解：解：因为 0≤x≤2π，所以由正弦函数的图象，,6π7 6π 26π, π20xx得到],1 ,21[)6π 2sin(x所以 y∈[－1，2]． 6．．求下列函数的值域． (1)y＝sin2x－cosx+2；(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)． 解：解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，令 t=cosx，则,413)21(413)21(3)(],1 , 1[222ttttyt利用二次函数的图象得到].413, 1 [y(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令 t=sinx＋cosx，2，则则，利用二次函数的图象得到)4πsin( x]2,2[t, 12tty].21 ,45[y7．．若函数 y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的)2, 2(最低点之间的图象与 x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与 x 轴)2, 2(2A交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以4144T8π又由，得到可以取)28πsin(22).4π 8πsin(2.4πxy8．．已知函数 f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若求 f(x)的最大值、最小值．],2π, 0[x数的值域．xxycos3sin1 解：解：(Ⅰ)因为 f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x)4π2sin(2)24πsin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxxxxxx所以最小正周期为 π．(Ⅱ)若，则，所以当 x=0 时，f(x)取最大值为]2π, 0[x]4π3,4π[)4π2(x当时，f(x)取最小值为; 1)4πsin(28π3x. 21． 已知，求（1）；（2）的值.2tan sincossincos 22cos2cos.sinsin解：（1）；2232121 tan1tan1cossin1cossin1sincossincos   (2) 2222 22 cossincos2cossinsincos2cossinsin.324 122221cossin2cossin cossin2222 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到） ，进行弦、切互化， 就会使解题过程简化。

2． 求函数的值域21 sincos(sincos )yxxxx 解：设，则原函数可化为sincos2sin()[22]4πtxxx 周，因为，所以22131()24yttt  [22]t 周当时，，当时，，2t max32y1 2t  min3 4y所以，函数的值域为3[32]4y周3．已知函数2( )4sin2sin22f xxxxR周（1）求的最小正周期、的最大值及此时 x 的集合；( )f x( )f x（2）证明：函数的图像关于直线对称 )f x8πx  解： 22( )4sin2sin222sin2(1 2sin)f xxxxx2sin22cos22 2sin(2)4πxxx(1)所以的最小正周期，因为，( )f xTπxR所以，当，即时，最大值为；2242ππxkπ3 8πxkπ( )f x2 2(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有( )f x8πx  xR成立，()()88ππfxfx因为，()2 2sin[2()]2 2sin(2 )2 2cos28842ππππfxxxx ，()2 2sin[2()]2 2sin(2 )2 2cos28842ππππfxxxx 所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

)()88ππfxfx( )f x8πx  4． 已知函数 y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,21 23（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合； （2）该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）21 23 41 41 43+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+41 43 45 21 6 6 45=sin(2x+)+21 6 45所以 y 取最大值时，只需 2x+=+2kπ,（k∈Z） ，即 x=+kπ,（k∈Z） 6 2 6所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移，得到函数 y=sin(x+)的图像；6 6（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ，得到函数21y=sin(2x+)的图像；6（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数21y=sin(2x+)的图像； 21 6（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数 y=sin(2x+)+的图像。

45 21 6 45综上得到 y=cos2x+sinxcosx+1 的图像21 23历年高考综合题历年高考综合题 一，选择题一，选择题1.（08 全国一 6）是 （ 2(sincos )1yxx）A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数2π2πC．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数ππ2.（08 全国一 9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（ πcos3yxsinyx）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位π 6π 6C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位5π 65π 63.(08 全国二 1)若且是，则是 （ sin0tan0）A．第一象限角B． 第二象限角C． 第三象限角D． 第四象限角4.（08 全国二 10） ．函数的最大值为 （ xxxfcossin)(）A．1 B． C． D．2235.（08 安徽卷 8）函数图像的对称轴方程可能是 （ sin(2)3yx）A．B．C．D．6x 12x 6x12x6.（08 福建卷 7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图2象，则g(x)的解析式为 ( )A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx7.（08 广东卷 5）已知函数，则是 （ ）2( )(1 cos2 )sin,f xxx xR( )f xA、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数2C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数28.（08 海南卷 11）函数的最小值和最大值分别为 （ ）( )cos22sinf xxxA. －3，1B. －2，2C. －3，D. －2，3 23 29.（08 湖北卷 7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若sin()yx3F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 （ ）,1xA. B. C. D. 5 125 1211 1211 1210.（08 江西卷 6）函数是 （ ）sin( ) sin2sin2xf xxx A．以为周期的偶函数 B．以为周期的奇函数42C．以为周期的偶函数 D．以为周期的奇函数2411.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则xa( )sinf xx( )cosg xxMN，的最大值为 （ ）MNA．1 B． C． D．22312.（08 山东卷 10）已知，则的值是（ ）π4cossin3657πsin6A． B． C． D．2。