函数重、难点讲解：函数的单调性一.doc
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函数的单调性(一)增、减函数定义王宪良【学习目标】(1)理解函数的单调性及其几何意义；(2)会运用函数图象理解和研究函数的单调性；一、阅读课本内容，有一句话：“随着x的增大，相应的f (x)也随着增大”，怎么用图象和数学式子表示这句话？“f(x)随着x的增大而减小呢” ？什么叫做增函数？减函数？(记住定义)• • • • • • •定义：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值Xi, x2,当XKX2日寸，都有f (X1)
这三项可以知二求一，B|J：(1)xx < x2/(^l) > f(x2)(2)x < X.g是增函数=曲5吃)，/⑴是减函数a、J/U)是增函数 ［/(X)是减函数以上特征(2)(3)称作函数单调性的可逆性，利用(3)可以脱去某些函数符号，也可以解某些不等式.如：若 f(x)是减函数，且/(3m2 -m-2) 2, 又如：解不等式(x2-5x)3 >(x-5)3时，可利用幕函数y = e的单调性，由于幕函数y = t3在R上单调递增，因此X2 -5x> x-5 , 利用函数单调性的可逆性出题较多，详见后单调性的应用2.研究函数单调性吋，需注意事项：① 坚持“定义域优先”的原则，要优先考虑函数的定义域「如：函数y = ^在［0, +<-)上单调递增.② “整体”与“局部”之分，函数的单调性是函数在某个区间是的性质，是局部性质，而“奇偶性”、‘'周期性”等是函数的整体性质如：函数y二丄在(一8, 0)和(0, +8)上分别单调递减，但不能说“在定义域上单调 x递减”③ X的“任意”性，西、花必须是这一局部(区间)内任意的两个值，不能用具体的两个值来代替，否则就会产生错误.比如函数)'=丄，若取X, =-1, X2 =1,因为心)=_1,他)= 1, /(^,)0时，在(-OO,+OO)上单调递增，当k<0时，在(-OO, +OO)上单调递减;反比例函数y =—伙H 0),当k>0时，在(-8,0)和(0,+8)上单调递减，当k〈0时，在(-°°, 0)和(0,+8)上x单调递增；/? h二次函数y = ax2 + Z?x4- c(6Z 0),当d〉0时，在(-*>,-—)上单调递减，在(-一,+g)上单调递增；当 2a 2aGVO时，在)上单调递增，在(-—,+g)上单调递减.2a 2a举例：函数y=-2x+1在(-8,+8)上是减函数；函数y=x'+1在(-8,+8)上不单调；函数y二x+1, xW乙的定义域不是区间，所以不能说它在定义域上具有单调性.三、例1.下图是定义在区间［一5, 5］上的函数y = f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一 个单调区间上它是增函数还是减函数？解：函数y = f(x)的单调区间有［一5, -2), ［-2, 1),［1, 3), ［3, 5］.其中y = f(x)在区间［一5, -2), ［1, 3)上是减函数，在区间［一2, 1), ［3, 5］上是增函数.练习：1.根据如图的图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上函数的单调性.解：函数图象上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可知：函数在区间(-8, -0.刀上为增函数，在(-0. 7, 0］上为减函数，在(0, 1.1］上为增函数，在(1.1, 2］上为减函数(2, +8)上为增函数.练习：2.画岀下列函数的图彖，并根据图彖说出函数的单调区间，以及在每一个区间上函数的单调性.(1) y = x2 -5x-6 (2) y = 9-x2例2.证明函数y = ± (k为正常数)在区间(0,+ 8)上是减函数.分析：这是一个重要题型一一证明函数的单调性(即证明f(X)在某区间上增或减)，证明的依据是什么？证明步骤为(重点)？证明的依据是定义；证明：(定义法)设O
/(x)1如：函数y二—与y=x；X1请判断函数f(x)二1・一的单调性④ 在公共区间内，对于函数f(x)±g(x)可以总结为:增+增二增，增-减二增，减+减二减，减-增二减.1如：函数y二X-—是 函数.X⑤ 当f(x), g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于0,则f(x) . g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于0,则f(x) • g(x)是减(增)函数.如：y=x | x | (x>0)是 函数.(请记熟以上结论，记忆一分钟)五、 小结：本节课重点掌握增(减)函数定义，证明增(减)函数的定义法的步骤，和五条性质六、作业：1•证明函数f(x)=x2+l在(-8,0)上是减函数.12.证明函数f(x)= I-—在(―,0)上是增函数.3•探究一次函数y=mx+b (xER)的单调性，并证明.。
