复习资料─圆锥曲线.docx

复习资料一圆锥曲线】一、二元二次方程式 ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 的图形称为二次曲线 , 通常分为下面二类 :1. 圆、抛物线、椭圆、双曲线 ,这些图形我们合称为非退化的二次曲线 , 又称圆锥曲线 , 简称锥线 .2. 平行两直线、相交两直线、一直线 ( 重合两直线 )、一点或没有图形 , 这些图形我们合称为退化的二次曲线 .(圆 )( 双曲线 )二、设 f ( x , y ) = ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 的图形为 F ,(1) 若 F 表二直线 , 一般用交叉相乘因式分解法解之即可 .(2) F 表二垂直直线的必要条件为 a + c = 0(3) F 表二平行直线的必要条件为 b2－4ac = 0说明】设 F 所表之二直线为 L1 : a1x + b1y + c1 = 0 , L2即 ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = ( a1 x + b1y + c1 ) ( a2x + b2y + c2 ) 比较 x2 项系数 : a = a1a2xy 项系数 : b = a1b2 + a2b1y2 项系数 : c = b1b2若 L1 L 2 , 则 a1a 2 + b1 b2 = 0 , 即 a + c = 0若 L 1 // L 2 , 则, 即 a1b2－a2b1 = 0所以 b2－4ac = ( a1b2 + a2b1 )2－4a1a2b1b2 = ( a1b2－a2b1 )2 = 02 = 0 三、抛物线：在一平面上 , 设 L 为一定直线 , F 为不在 L 上的一定点 . 至 F 与 L 等距离的所有动点 P 所成图形 , 称为抛物线 . L 称为准线 , F 称为焦点 . 过 F 与 L 垂直的直线 , 称为此 抛物线的对称轴 , 简称轴 . 轴与抛物线的交点 V 称为抛物线的顶点 . 连结抛物线上任意 两点的线段 , 称为抛物线的弦 . 经过焦点的弦 , 称为抛物线的焦弦 . 与抛物线的轴垂直的 焦弦 , 称为抛物线的正焦弦 . 连结抛物线上任一点与焦点的线段 , 称为抛物线的焦半径 .四、抛物线的标准式：设c丰0,贝I」焦点F(0,c),准线L： y + c = 0的抛物线方程式为x2 = 4cy。

F(h , c + k),准线 L： y + c = k 的抛物线方程式为(x- h)2 = 4c(y — k)F(c , 0),准线L： x + c = 0的抛物线方程式为y2 = 4cxF(c + h , k),准线 L： x + c = h 的抛物线方程式为(y — k)2 = 4c(x- h)隹占八、、八、、准线抛物线方程式顶点轴焦距正焦弦长形状(0 , c)y + c = 0x2 = 4cy(0,0)x = 01 c 141 c 1开口向上或向下＜0)(h , c+k)y + c = k(x—h)2=4 c(y k)(h , k)x = h1 c 141 c 1开口向上或向下＜0)(c , 0)x + c = 0y2 = 4cx(0,0)y = 01 c 141 c 1开口向右或向左＜0)(c+h , k)x + c = h(y—k)2 = 4c(x—h)(h , k)y = k1 c 141 c I开口向右或向左＜0)五、抛 物 线 的 一般式：准线平行x轴的抛物线，可设其方程式为y = ax2 + bx + c (a丰0) y轴的抛物线，可设其方程式为x = ay2 + by + c (a丰0)。

六、抛物线的参数式：I x = 2ct抛物线x2 = 4cy的参数式可为｛ , t g RI y 二 Ct2抛物线y2 = 4cx的参数式可为\x ct2, t g r[y 二 2ct I x = h + 2ct抛物线(x - h)2 = 4c(y - k)的参数式可为＜ ,t g R[y = k + ct 2抛物线(y — k)2 = 4c(x-h)的参数式可为[“ " + , t g RoI y = k + 2ct七、椭圆：设 F1 与 F2 为平面上二定点 , 2a 为一正的定数 . 平面上至 F1 与 F2 的距离之和等于定 数2a的动点P所成图形为「.若 ,则「称为椭圆,行,F2称为焦点 , 被椭圆所截的线段, 称为此椭圆的长轴 .八、椭圆名词介绍：1. 焦 点：上述定义中的两定点F「F2，称为椭圆的两焦点2. 中心点：FF的中点O称为椭圆的中心点123. 焦 距：焦点与中心的距离称为焦距（其长为 c）4. 顶 点：设fF与椭圆交于A1> a2两点，过中心点且与FF垂直的直线与椭圆交于B1> b21 2 1 2 1 2 1 2 两点，则A］、A2、B］、B2四点称为椭圆的顶点。

5. 长 轴：A A称为椭圆的长轴（其长度为2a）126. 短 轴：BB称为椭圆的短轴（其长度为2b，其中b =、：a2 -c2 ）1 27. 弦 ：椭圆上任两点的连接线段称为弦8. 焦 弦：过焦点的弦称为焦弦（有无限多条）2b29. 正焦弦：垂直长轴的焦弦称为正焦弦（有两条，其长度为 ）a10. 焦半径：设P为椭圆上任一点，则PF、PF称为过P的两焦半径12(由定义可知，PF + PF = 2a)12九、 椭 圆 的 标准式 ：1. 平放型椭圆的第一标准式取 F/ c , 0 ) , F2(_c , 0 ),定数 2a ,而 2a > 2c > 0 , 则满足 之一切点 P ( x , y ) 之椭圆方程式为 , 其中 b2 = a2－c2 .2. 竖立型椭圆的第一标准式取 F1( 0 , c ) , F2( 0 ,－c ) , 定数 2a , 而 2a > 2c > 0 , 则满足 之一切点 P ( x , y ) 之椭圆方程式为 , 其中 b2 = a2－c2 .3. 平放型椭圆的第二标准式 一椭圆的长轴长 2a , 两焦点坐标为 F1(h+c ,k ) 及 F2(h－c ,k ) , 则椭圆方程式为 ,其中 b2 = a2－c2 .4. 竖立型椭圆的第二标准式 一椭圆的长轴长 2a , 两焦点坐标为F1( h , k + c )及F2( h , -c ),1 2 k则椭圆方程式为 ，其中 b2 = a2- c2 .十、椭圆的焦半径公式 : (a >b > 0 )(1) 若 P ( x0 ， y0 ) 为椭圆上一点 ， F1 ， F2 分别为右、左焦点 ， 则右焦半径 ， 左焦半径(2) 若 P ( x0 ， y0 ) 为椭圆上一点 ， F1 ， F2 分别为上、下焦点 ， 则上焦半径 ， 下焦半径、椭圆的参数式：椭圆八 竺+止=1的参数式可为；x二acos:, 0

a 2 b 2 [ y 二 b sm e椭圆八 +gi = 1的参数式可为；x二h+acose，a 2 b2 [ y 二 k + b sm e十二、一点可能在椭圆的内部、上面或外部，以下列方法来判断设P(x0 ,y0),椭圆八竺+啟=10 0 a2 b2上4 + 4V 1P在厂的内部，上4 + 4= 1P在厂的上面，亡4 + 4> 1P在厂的外部 a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2十三、双曲线：设 F1 ， F2 是平面上二相异定点 ， 2a 为正的定数 . 平面上至 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定数2a的所有动点P所成轨迹图形为「•若 ，则称「为双曲线 ， F1， F2 称为焦点 .十四、双曲线名词介绍：1. 焦 点：上述定义中的两定点F］、F2，称为双曲线的焦点2. 中心点：FF的中点O称为双曲线的中心点1 23. 焦 距：焦点与中心的距离（等于c）称为焦距4. 顶 点：设FF与双曲线交于A］、a2两点，则此两点称为双曲线的顶点1 2 1 25. 贯 轴：双曲线两顶点的连接线段A A称为贯轴（其长度为2a）1 26. 共轭轴：设L为过中心0，且与贯轴垂直的直线，若以O为圆心，b =、：a2 -c2为半径长画弧，交L于两点B「B2，则称为共轭轴（其长度为2b）。

1 2 1 27. 焦半径：设P为双曲线上任一点，则pf、pF称为过P点的两焦半径1 2（由定义可知IPF - PF I = 2a）128. 弦：双曲线上任两点的连接线段称为弦9. 焦 弦：过焦点的弦称为焦弦有无数多条）2b 210. 正焦弦：与贯轴垂直的焦弦称为正焦弦恰有两条，其长度为 ）a11. 渐近线：过贯轴的两端点，分别作直线与贯轴垂直；再过共轭轴的两端点，分别作直线与共轭轴垂直，此四条直线围成一个矩形，则其对角线所在的两直线即为渐近线十五、双曲线的标准式：1. 左右型双曲线的第一标准式取 F1（ c ， 0 ） ， F2（－c ， 0 ） ， 定数 2a ， 而 0 < 2a < 2c ，则满足双曲线方程式为之一切点 P ( x , y ) 之, 其中 b2 = c2 －a2 .2. 上下型双曲线的第一标准式取 F 1( 0 , c ) , F 2( 0 , － c ) , 定数 2 a , 而 0 < 2 a < 2 c , 则满足 之一切点 P ( x , y ) 之双曲线方程式为 , 其中 b2 = c2－a2 .3. 左右型双曲线的第二标准式 一双曲线的贯轴长 2a , 两焦点坐标为 F1(h +c , k ) 及 F2( h－c , k ) , 则双曲线方程式为 ,其中 b2 = c2－a2 .4. 上下型双曲线的第二标准式 一双曲线的贯轴长 2a , 两焦点坐标为 F1( h ,k+ c ) 及 F2(h , k－c ) , 则双曲线方程式为 ,其中 b2 = c2 a2 .十六、双曲线的焦半径公式 : ( a > b > 0 )(1) 若 P ( x0 , y0 ) 为双曲线上一点 , F1 , F2 分别为右、左焦点 , 则右焦半径 , 左焦半径(2) 若 P ( x0 , y0 ) 为双曲线上一点 , F1 , F2 分别为上、下焦点 , 则上焦半径 , 下焦半径的渐近线为,即的渐近线为(3) 若已知 L1 : a1x + b1y + c1= 0 , L2 : a2x + b2y + c2 = 0为双曲线「之二渐近线，贝V(2) 上下型双曲线：的渐近线为r 方程式可设为(a1x + b1y +C] )( a2x + b2y +c2 ) = k , k工0 十八、等轴双曲线 :双曲线的贯轴与共轭轴等长 , 此双曲线称为等轴双曲线 . 等轴双曲线之二渐近线必互相垂直 , 反之 , 二渐近线垂直之双曲线必为等轴双曲线 .十九、共轭双曲线 : 两双曲线有共同的中心 , 若其中一个的贯轴及共轭轴分别为另一个的共轭轴及贯轴 , 则 。