线性规划常见题型及解法均值不等式(含答案).doc

线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式表示直线某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（），从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域通常代特殊点（0，0）二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（）和（）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z=0，画出直线l0.3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围xyO22x=2y =2x + y =2BA例1、 若x、y满足约束条件　，则z=x+2y的取值范围是　（　）A、[2,6]　B、[2,5]　C、[3,6]　D、（3,5]二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为　　（　）　　　A、4　B、1　C、5　D、无穷大三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（　）　　A、9个　B、10个　C、13个　D、14个xyO解：|x|＋|y|≤2等价于　　作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围x + y = 5x – y + 5 = 0Oyxx=3例4、已知x、y满足以下约束条件　，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为　　　（　）　　　A、－3　B、3　C、－1　D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D2x + y - 2= 0 = 5x – 2y + 4 = 03x – y – 3 = 0OyxA五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件　，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是　　　（　）　　A、13，1　 B、13，2　C、13，　 D、，O2x – y = 0y2x – y + 3 = 0解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是　　（　）　A、（-3,6）　B、（0,6）　C、（0,3）　D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知 ,故0＜m＜3，选C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。

利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品木料(单位m3)第 一 种第 二 种圆 桌0.180.08衣 柜0.090.28解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么 而z=6x+10y.如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值解方程组,得M点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一(2)利用图象,性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知(这个式子中的“£”也可以是“³”或“=”号)其中aij (i=1,2,…,n, j=1,2,…,m),bi (i=1,2,…,n)都是常量,xj (j=1,2,…,m) 是非负变量,求z=c1x1+c2x2+…+cmxm的最大值或最小值,这里cj (j=1,2,…,m)是常量. (3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。

然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1．平移找解法 作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l，直线l最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解. 例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品木料(单位m3)第 一 种第 二 种圆 桌0.180.08衣 柜0.090.28解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么 而z=6x+10y.如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值解方程组,得M点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72和0.08x+0.28y=56的交点M。

例 2 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于配套，怎样截最合理？ 解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数为z根根据题意，得 ，目标函数为 ，作出如图所示的可行域内的整点， 作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略． 点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t经过可行域内且和原点距离最远的点B（8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解 从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高二、整点调整法先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解． 例3．已知满足不等式组，求使取最大值的整数．解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与，与，与交点分别为，则坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ∴；当时，得或， ∴或；当时，， ∴，故的最大整数解为或．3.逐一检验法 由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓． 例4 一批长4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm与698mm的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率． 解：设甲种毛坯截 x 根，乙种毛坯截 y 根，钢材的利用率为 P ，则 ①，目标函数为 ②，线性约束条件①表示的可行域是图中阴影部分的整点．②表示与直线518x+698y=4000平行的直线系。

所以使P取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x+698y=4000的整点坐标．如图看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入②进行校验，可知当x=5,y=2时， ． 答：当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65%． 解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.高考线性规划归类解析图1书、11　 线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　　　　解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题图2例2、已知则的最小值是 .解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点。