分形几何概述--讲座.ppt

分形几何概述中国矿业大学理学院 2010-6-25主讲 宋晓秋学科讲座分形(fractal)• 分形几何理论诞生于20世纪70年代中期， 创始人是美国数学家---曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自 然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作 • 分形(fractal)是20多年来科学前沿领域提出 的一个非常重要的概念， • 混沌(chaos,)、分形和孤立子(soliton) 是非线性科学(nonlinear science)中三个 最重要的概念什么是分形呢？• 曼德尔布莱特最先引入分形(fractal)一词，意为“破碎的 ，不规则的”• 目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的 定义粗略地说:• 分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形 和结构的总称； • 分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合； • 分形是具有某种意义下的自相似集合； • 分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合认识分形• 如果您从未听说过“分形”，一时又很难搞清楚分 形是什么，有一个简单迅捷的办法：去市 场买 一个新鲜的菜花(花椰菜)，掰下一枝，切开，仔 细观察，思考其组织结构。

这就是分形 ! • 分形可以是自然存在的，也可以是人造的花椰 菜、树木、山 川、云朵、脑电图、材料断口等 都是典型的分形闪电、冲积扇、泥裂、冻豆腐 、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支 气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层 ……想想它们的形状、结构!海岸线的长度是多少？• 1967年曼德布罗特在《科学》上发表题为《英 国海岸线有多长?统计自相似性与分数维数》的 著名论文 • 此文的原由在于曼德布罗特发现许多国家公布 的公共边界线存在极大的误差，及大国公布的 公共边界线小，而小国公布的公共边界线大 • 原因在于边界线是一个复杂的曲线，所用的测 量尺度越小，测量的长度越大 • 为了说明这一问题，考虑下面的科赫曲线实例一 科赫曲线及构造过程• 设E0是单位长直线段； • E1是由E0除去中间1／3的线段、而代之以底边在被除去 的线段上的等边三角形的另外两条边所得到图形,它包 含四个线段； • 对E1的每个线段都进行同一过程来构造E2，依此类推 于是得到一个曲线序列{E k}； • 其中E k是把E k-1的每一个直线段中间1／3用等边三角形 的另外两边取代而得到的； • 当k充分大时，曲线E k和E k-1 只在精细的细节上不同 • 而当k→∞时，曲线序列{E k}趋于一个极限曲线F，称F 为冯.科赫曲线。

图1 柯赫曲线科赫曲线F的特性• 科赫曲线F是自相似的，四个部分与整体 的相似比例为1/4； • F具有精细结构，即在任意小的比例尺度 内包含整体； • F是不规则的，不能用传统的几何语言来 描述； • F 的长度为∞，而面积为0；科赫曲线F 的长度为∞• 事实上，对于每个k，E k的长度为科赫曲线F的自相似维数• 由于F 的长度为∞，而面积为0，因此F的 维数既不是1，也不是2，而是一个介于1 与2之间的分数 • 科赫曲线F的自相似维数为实例二 康托尔集F及构造过程•设E0是单位长直线段，• E1是由E0除去中间1／3的线段所得到图形,它包含四个线 段•对E1的每个线段都进行同一过程来构造E2 ，依此类推 于是得到一个曲线序列{E k}，•其中E k是把E k-1的每一个直线段中间1／3除去而得到的 ；•当k充分大时，曲线E k和E k-1只在精细的细节上不同，•当k→∞时，曲线序列{E k}趋于一个极限曲线F，•称F为康托尔三分集.图2 康托尔三分集康托尔集F的特性• 康托尔集曲线F是自相似的，两个部分与 整体的相似比例为1/3； • F具有精细结构，即在任意小的比例尺度 内包含整体； • F是不规则的，不能用传统的几何语言来 描述； • F 中点的数目为∞，而长度为0；康托尔集F 的长度为0• 事实上，对于每个k，E k的长度为康托尔集F的自相似维数• 由于康托尔集F中点的数目为∞，而长度 为0，因此F的维数既不是0，也不是1， 而是一个介于0与1之间的分数。

• 科赫曲线F的自相似维数为实例三 谢尔宾斯基地毯• 波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间构造了几个典型的例子， 这些怪 物常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢 氏海绵” 如今，讲分形都要提到它们 不但有趣，而且有助于形象地理解分形 图3 谢尔宾斯基三角形 谢尔宾斯基地毯F的 自相似维数分形的特性• 英国数学家Falconer在《分形几何的数学基 础及应用》一书中认为： • 分形的定义应该以生物学家给出“生命”定 义的类似方法给出，即不寻求分形的确切 简明的定义，而是寻求分形的特性，将分 形看作具有某些性质的集合分形• 将分形看作具有如下性质的集合: • 1.F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包 含整体 • 2.F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言 来描述 • 3.F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许 是统计意义下的 • 4.F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的拓 扑维数 • 5.F的定义常常是非常简单的，或许是递归的分形理论是一门横断学科• 分形理论是一门交叉性的横断学科，从振动力学 到流体力学、天文学和计算机图形学，从分 子 生物学到生理学、生物形态学，从材料科学到地 球科学、地理科学，从经济学到语言学、 社会 学等等，无不闪现着分形的身影。

• 分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响， 从分 形的观点看世界，我们发现，这个世界是 以分形的方式存在和演化着的世界 陈省身的观点• 历史上几 何学可分为六个时期： • 1)公理(欧几里德)； • 2)坐标(笛卡尔，费马)； • 3)微积分(牛顿，莱布 尼兹)； • 4)群(克莱因，李)； • 5)流形(黎曼)； • 6)纤维丛(嘉当，惠特尼) • 7）分形几何（曼德布罗特）“分形fractal”的命名• 1975年的一天，曼德布罗特翻看儿子的拉丁语 课本，突然受到启发，决定根据fractus 创造一 个新词，于是有了fractal这个英文词 • 同年他用法文出版了专著《分形对象:形、机遇 与维数》(Les objets fractals: forme, hasard et dimension)，1977年出版了此书的英译本《分 形：形、 机遇与维数》1982年又出版了此 书的增补本，改名为《大自然的分形几何学》 分形”的命名• 70年代末fractal传到中国，一时难以定译 • 中科院物理所李荫远院士 说，fractal应当译成“分形”， 郝柏林、张恭庆、朱照宣等科学家表示赞同，于是在中 国大陆fractal逐渐定译为“分形 ”。

• 如今台湾还译“碎形”，显然不如“分形”好 • 分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整 体具有多种层次结构分形”之译 的确抓住了fractal的 本质--科学本质、哲学本质和艺术本质分形”的命名中国传统文化中关于“分” 与“形”有丰富的论述，想 必李荫远院士极为熟悉李院士是物理学名词审定 委员会三名顾 问之一 宋明理学关于“理”(“理念” 或者“太极”)与“万物”、整 体与部分、一般与具 体的关系的思想吸收了佛家观 念，特别是华严宗和禅宗的观念 李荫远的译名实在于平凡处见功力，如 李善兰(1811-1882)译“微分” (differentiation)、“积分 ” (integration)， 王竹溪(1911-1983)译“湍流”(turbulence )、 “逾渗” (percolation)和“运输”(transportation)一个有趣的故事• 70年代末曼德布罗特的《分形：形、机遇和维数 》(Fractals: Form,Chance,and Dimension)英文版在 北京中关村一带的地摊上便可见到数十部，当时 北京大学力学系黄永念教授和朱照宣教授每人买 了一部，据说只花了几元钱。

• 十多年后，当分形理论被科学 界认同、热起来时 ，在世界上再去寻找这部原版名著，几乎不可能 了当时，国际、国内 科学界基本上不知道分形 是怎么回事分形的历史发展• 分形理论是非线性科学研究中十分活跃 的一个分支,它的研究对象是自然界和非 线性系统中出现的不光滑和不规则的几 何形体分形理论数学基础是分形几何 • 分形理论的发展大致可分为三个阶段 下面简要回顾一下分形理论在这三个历 史阶段的发展过程第一阶段• 为1875年至1925年,在此阶段,人们已认识到几 类典型的分形集,并且力图对这类集合与经典几 何的差别进行描述、分类和刻划 • 19世纪,尽管人们已能区别连续与可微的曲线, 但是普遍认为连续而不可微的情形是极为例外 的,并且在理论研究中应排除这类“怪物”,特别 认为一条连续曲线上不可微的点应当是极少的 维尔斯特拉斯型函数• 在1872年，维尔斯特拉斯(Weierstrass)证明 了一种连续函数在任意一点均不具有有限 或无限导数(称为维尔斯特拉斯型函数) • 这一结果在当时曾引起了极大的震动；但 是人们认为维尔斯特拉斯型的函数是极为“ 病态”的例子既使如此，人们仍从不同方 面推广了上述函数，并对这类函数的奇异 性质作了深入的研究，获得了丰富的结果 。

冯.科赫(Von Koch)曲线• 冯.科赫于1904年通过初等方法构造了处处不可 微的连续曲线，如今被称为冯.科赫曲线的，并 且讨论了该曲线的性质 • 由于该曲线的构造极为简单，从而改变了人们认 为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法 • 特别重要的是，该曲线是第一个人为构造的具有 局部与整体相似的结构，被称为自相似结构 皮亚诺曲线• 皮亚诺(Peano)于1890年构造出填充平面 的曲线， • 这一曲线出现后，人们提出应正确考虑 以往的长度与面积的概念 • 皮亚诺曲线以及其它的例子导致了后来 拓扑维数的引入 Peano曲线康托尔三分集• 康托尔(Cantor)于1872年引入了一类全不 连通的紧集F，F被称为康托尔三分集• 在当时，人们认为这类集合在传统的研 究中是可以忽略的但是进一步的研究 结果表明，这类集合在象三角级数的唯 一性这样重要问题的研究中不仅不能忽 略，而且起着非常重要的作用谢尔宾斯基地毯• 波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间，为实变函数理论构造了几个典 型的例子， 这些怪物常称作“谢氏地毯” 、“谢氏三角”、“谢氏海绵”、“谢氏墓垛” 如今，几乎 任何一本讲分形的书都要 提到这些例子。

它们不但有趣，而且有 助于形象地理解分形 布朗(Brown)运动• 一类极为典型的随机分形集，即布朗(Brown)运动 • 珀瑞(Perrin)在1913年对布朗运动的轨迹进行了深 入研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有 导数他的这些论述在1920年左右使年轻的维纳 (Wiener)受到震动，并促使他建立了很多布朗运动 的概率模型 • 为了表明自然混乱的极端形式，维纳采用了“混沌 ”（Chaos）一词• 珀瑞曾经注意到：一方面，自然界的几何是混乱 的，不能用欧氏几何或微积分中那种完美的序表 现出来；另一方面，它能使人们想到1900年左右 创立的数学的复杂性 布朗(Brown)运动的意义• 曼德尔布莱特(Mandelbrot)在回顾珀瑞及维纳的 工作以及分形几何的发展历史时指出，分形几 何以下面两种选择为其特征： • 一是在自然界的混沌中选择问题，因为描述整 个混沌是既无意义又无可能的主张； • 二是在数学中选择工具 • 这两种选择逐渐成熟并创造了新东西，在无序 混沌与欧氏几何过分有序之间，产生了一个具 有分形序的新领域由于非常“复杂”的集合的 引入，而且长度、面积等概念必须重新。