2022年著名不等式公式.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三角形内角的嵌入不等式三角形内角的嵌入不等式,在不至于引起歧义的情形下简称嵌入不等式 ；该不等式 指出,如 A、B、C 是一个 三角形 的三个 内角,就对任意 实数 x、y、 z,有：算术 -几何平均值不等式在数学 中,算术 - 几何平均值不等式 是一个常见而基本的 不等式 ,表现了两类平均数： 算术平均数 和几何平均数 之间恒定的不等关系；设 为 n 个正 实数 ,它们的 算术平均数 是 ,它们的 几何平均数 是等号成立 当且仅当；算术 - 几何平均值不等式说明,对任意的正实数,总有：；算术 -几何平均值不等式仅适用于正实数,是有应用；对数函数 之凹性 的表达,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都算术 -几何平均值不等式常常被简称为 平均值不等式 （或 均值不等式 ）,尽管后者是一组包括它的不等式的合称；例子在 n = 4 的情形,设 : , 那么. 可见 ；历史上的证明历史上, 算术 -几何平均值不等式拥有众多证明；n = 2 的情形很早就为人所知,但对于一般的n,不等式并不简单证明；1729名师归纳总结 第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 年, 英国数学家麦克劳林精品资料欢迎下载最早给出了一般情形的证明,用的是调整法 ,然而这个证明并不严谨,是错误的；柯西的证明1821 年,法国数学家 柯西 在他的著作《 分析教程 》中给出了一个使用命题 Pn：对任意的n 个正实数,1. 当 n=2 时, P2 明显成立；逆向归纳法 的证明[1]：2. 假设 Pn 成立,那么P2n 成立；证明：对于2 n 个正实数,设,,3. 假设Pn 成立,那么Pn -1 成立；证明：对于n - 1 个正实数,那么由于Pn成立,；但是,,命题,因此上式正好变成综合以上三点,就可以得到结论：对任意的自然数Pn 都成立；这是由于由前两条可以得到：对任意的自然数 k,命题都成立；因此对任意的,可以先找k 使得,再结合第三条就可以得到命题Pn 成立了；归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明就有乔治· 克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》 （ algebra ）的其次卷中给出的[2] ：由对称性不妨设xn + 1是中最大的,由于,设,就,并且有 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载依据 二项式定理 ,于是完成了从 n 到 n + 1 的证明；此外仍有更简洁的归纳法证明[3] ：和成立,于是：在 n 的情形下有不等式所以 ,从而有；基于琴生不等式的证明留意到几何平均数实际上等于,因此算术 -几何平均不等式等价于：；由于 对数函数 是一个 凹函数 ,由 琴生不等式 可知上式成立；此外仍有基于 排序不等式 、伯努利不等式 或借助调整法、帮助函数求导和加强命题的证明；推广算术 -几何平均不等式有许多不同形式的推广；加权算术 - 几何平均不等式不仅“ 匀称” 的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式；设第 3 页,共 11 页和为正实数,并且,那么：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载；加权算术 -几何平均不等式可以由琴生不等式得到；矩阵形式算术 -几何平均不等式可以看成是一维向量 的系数的平均数不等式；对于二维的矩阵,一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵设,,那么有：也就是说：对k 个纵列取算术平均数,它们的几何平均大于等于对n 个横行取的n 个几何平均数的算术平均；极限形式也称为 积分形式 ：对任意在区间[0,1] 上可积的正值函数f ,都有后,将这实际上是在算术- 几何平均值不等式取成两边的 黎曼和 中的 n 趋于无穷大后得到的形式；伯努利不等式数学 中的 伯努利不等式 是说：对任意 整数,和任意 实数,；假如是偶数 ,就不等式对任意实数x 成立；和任意实数,,有严格不等式： 第 4 页,共 11 页可以看到在 名师归纳总结 n = 0,1 ,或 x = 0 时等号成立,而对任意正整数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载；伯努利不等式常常用作证明其他不等式的关键步骤；[编辑 ] 证明和推广伯努利不等式可以用数学归纳法 证明：当 n = 0,1 ,不等式明显成立；假设不等式对正整数n,实数时成立,那么；下面是推广到实数幂 的版本：假如x > - 1,那么：如或,有；如,有；这不等式可以用导数 比较来证明：当 r = 0,1 时,等式明显成立；在上定义 f〔x〕 = 〔1 + x〕r- 〔1 + rx 〕,其中, 对 x 微分得 f '〔x〕 = r〔1 + x〕r - 1- r, 就 f'〔x〕 = 0 当且仅当 x = 0 ；分情形争论：0 < r < 1,就对x > 0 ,f '〔x〕 < 0 ；对-1 < x < 0 , f'〔 x〕 > 0 ；因此f〔x〕在 x = 0 时取最大值0 ,故得；r < 0或 r > 1,就对x > 0,f'〔 x〕 > 0；对 -1 < x < 0 ,f'〔x〕 < 0 ；因此f〔x〕在 x = 0时取最小值 0,故得；在这两种情形,等号成立当且仅当 x = 0 ；[编辑 ] 相关不等式下述不等式从另一边估量 〔1 + x〕r：对任意 x, r > 0 ,都有；佩多不等式名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载命名；这不等式指出：假如第一个三角形 的边长几何学 的佩多不等式 ,是关连两个 三角形 的不等式 ,以 唐· 佩多〔Don Pedoe〕为 a,b,c,面积 为 f,其次个 三角形 的边长为 A,B,C,面积 为 F,那么：,等式成立 当且仅当 两个 三角形 为一对 相像三角形 ,对应边成比例；也就是 a / A = b / B = c / C；[编辑 ] 证明由海伦公式 ,两个三角形的面积可用边长表示为16 f2 = 〔 a + b + c〕〔a + b - c〕〔a - b + c〕〔b + c - a〕 = 〔 a2 + b2 + c2〕2- 2〔 a4 + b4 + c4〕 16 F2 = 〔 A + B + C〕〔A + B - C〕〔A - B + C〕〔B + C - A〕 = 〔 A2 + B2 + C2〕2- 2〔 A4 + B4 + C4〕, 再由 柯西不等式 ,16 Ff + 2 a2A2 + 2 b2B2 + 2 c2C2= 〔 a2 + b2 + c2〕〔A2 + B2 + C2〕 于是,= A2〔b2 + c2- a2〕 + B2〔a2 + c2- b2〕 + C2〔a2 + b2- c2〕 ,命题得证；等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相像；第 6 页,共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABC 是第一个三角形,精品资料欢迎下载A'B'C' 是取相像后的其次个三角形,BC 与 B'C' 重合几何证法三角形的面积与边长的平方成正比,因此在要证的式子两边同乘一个系数相像（如右图） ；设这时 A、B、C 变成 x、y 、z,F 变成 F'；考虑 AA' 的长度；由余弦公式,λ2,使得 λA = a,几何意义是将其次个三角形取将两边化简后同时乘以,并留意到a=x ,就可得到原不等式；,代入就变成：等号成立当且仅当 A 与 A' 重合,即两个三角形相像；内斯比特不等式内斯比特不等式是数学 的一条 不等式 ,它说对任何正实数 a,b,c,都有：[编辑 ] 证明此不等式证明方法许多,例如从 平均数不等式 我们有：,移项得出：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载,整理左式：,；因而不等式得证；埃尔德什－莫德尔不等式如图,埃尔德什- 莫德尔不等式说明点O 到三个顶点的距离之和（绿色 线段）大于到三边距离之和（蓝色 线段）的两倍在几何学 中, 埃尔德什 -莫德尔不等式 是一个二十世纪初期发觉的不等式；埃尔德什 -莫德尔不等式说明白：对于任何 三角形ABC 和其内部的一点 O ,点 O 到三角形三条边的 距离 之和总是小于或等于点 O 到三角形的三个顶点的距离之和的一半；埃尔德什 -莫德尔不等式可以认为是几何学中的 欧拉定理 的一个推广； 欧拉定理声称三角形 外接圆 的半径 总是大于等于 内切圆半径的两倍；[编辑 ] 历史该不等式最早由埃尔德什 在1935 年在《美国数学月刊》上提出,作为第3740 号问题；两年之后,由路易斯· 莫德尔和 D.F.巴1958 年班考夫（ Bankoff ） 第 8 页,共 11 页罗证明； 1957 年,卡扎里诺夫 提出了一个更简捷的证明[1] ；之后不断有更简洁、 更基本的证明显现；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 给出了运用正交投影和相像三角形的证明,精品资料欢迎下载1993 年和 2001 年发觉了依据 托1997 年和 2004 年显现了使用面积不等式的证明,勒密定理 的证明；[编辑 ] 证明如右图, O 为三角形 ABC 中的一个点； O 到三角形三边的 垂线 分别交三条边于 D、E、F；设线段 OA 、OB、 OC 的长度分别是 x、y、z,线段 OD、 OE、OF 的长度分别是 p、q 、r,那么埃尔德什 -莫德尔不等式为：一个初等的证明方式是使用 三角函数 以及 均值不等式 ；第一, 由于 OF 垂直于 AF,OE 垂直于 AE,。