Clifford分析在偏微分方程中的应用.docx

Clifford分析在偏微分方程中的应用 仲新娟摘要：Clifford是基于高维空间中代数理论与几何结构所创设的一种几何代数，是一种能够结合但不能够交换的代数结构，是外代数、四元数以及复数的推广文章首先阐述了非线性偏微分方程（PDE）解的存在性定理，并通过实例说明在偏微分方程中构造Clifford分析的方法，进一步阐述了多Clifford分析的相关理论及其应用方法，总结了Clifford分析在解决高维空间领域非线性偏微分方程（PDE）问题的一般方法关键词：Clifford分析；偏微分方程；应用Clifford又可称为几何代数，目前在几何与物理领域中都有应用在当前数学研究的主流课题中，非交换数学一直是重点，而Clifford分析可以说是非交换领域中单复变全纯函数理论的推广，其在量子物理、微分几何、代数几何以及偏微分方程中皆有应用但是在偏微分方程（PDE）之中，Clifford的应用多集中于具体方程解的表达式和存在性，而在解决高维空间领域高阶非线性偏微分方程问题方面却少有建树本文将运用Clifford分析法将偏微分方程解之局部存在性理论（下面简称为N-W定理）向高维推广，在高维空间中建立非线性偏微分方程的整体可解性和局部可解性。

一、 PDE解的存在性定理1957年，学者Lewy[M]提出了即使是一般的线性PDE，其可能没有局部解这一理论的提出，使得PDE解本身的局部存在性成为偏微分方程领域中最为基本的研究问题，早期著名的研究者包括Nirenberg-Treves、Lemer、 Decker、Beals-Fefferman等直至Nijenhuis-Woolf提出并证实了殆复流形上J-H曲线局部存在性的理论，从本质上研究了在复平面中一阶非线性PDE的局部可解性问题，但是这一定理由一阶线性PDE向高阶推广，经历了漫长的时间，直至2011年才算完成目前有学者已经证实了PDE的可解性，但这一结果并未全部推广至微分方程组，而且对于非线性偏微分方程组，这一局部可解性问题就显得更为复杂本文将以下列方程组A为例，探讨其可解性这里的D是Clifford代数R0，n之中的Dirac算子，且D为其共轭算子，u为Rn+1域中（有定义）Clifford值函数，a为给定的（光滑）Clifford值函数，μ+v=m首先分析Teodorescu（简称为T）算子的有界性问题，T算子为Dirac算子（D）的右逆算子，作为处理Cauchy-Riemann（C-R）这类方程的基础。

本文主要探讨了以下T算子的有界性问题，其结果在证实非线性PDE方程解本身的存在性定理之中起着决定作用T算子是将D算子的基本解作为核函数的一种积分算子，也常常称之为D算子体积位势下面我们将利用T算子一阶微分表达式来作如下证明：在H0der空间，T算子为D算子的右逆算子从共轭算子D为例，考虑其右逆算子T，三、小结本文立足于建立起高维空间中不同阶C-R型非线性PDE的整体可解性和局部可解性虽然已有学者已经研究得出了多四元数以及多Clifford分析中低维C-R方程组应满足的相容性条件，也有学者通过代数几何方法，深入探讨了多四元数分析，并且给出C-F复形的主要构造但是上述方法仍然存在一定局限性，因为该方法凭借的相容性条件要利用C-F复形之中第三个算子，但是第三个算子只在低维情况下才容易算出，而一般情形下很难被找出，因此并不能得到非齐次C-F方程解的表达式本文探索的方向是应用代数几何方法，将多复变方法带到多Clifford分析以及多四元数理论之中以上研究和结果证明了该种方法既是基础，也是直接的首先通过Pertici引入和给出多四元数条件下非齐次C-R方程相容性条件，实际上就是积分条件，与通过一般代数几何方法获得的相容性条件是有区别的。

从整体上看，该方法能够方便直接得到非齐次C-R方程存在紧支集解的有关相容条件，并且无须借助第三个算子T算子为Dirac算子（D）的右逆算子，通过分析Teodorescu（简称为T）算子的有界性问题，能够进一步处理Cauchy-Riemann（C-R）这类方程本次研究利用Clifford分析将Nijenhuis-Woolf定理由复平面向高维推广，希望能够为广大研究者提供一些参考和方法借鉴参考文献：[1]张彬林.变指数Clifford值函数空间及其应用[D].哈尔滨工业大学，2013.[2]王海燕. Clifford分析在偏微分方程中的应用[D].中国科学技术大学，2014.[3]李婧.复Clifford分析中Isotonic函数的性质及其边值问题[D].河北师范大学，2010.[4]张坤.Clifford分析中全纯Cliffordian函数的性质及其边值问题[D].河北师范大学，2010. -全文完-。