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层板复合材料的疲劳剩余刚度衰退模型 Ξ 冯培锋杜善义 王殿富 李海涛 (集美大学机械工程学院,厦门,361021)(哈尔滨工业大学航天工程与力学系,哈尔滨,150001) 摘 要 根据层板复合材料在疲劳载荷作用下刚度衰退变化的现象,研究了疲劳载荷对层 板复合材料刚度衰退的影响,建立了一个用于描述层板复合材料在常幅疲劳载荷作用下的刚度 衰退模型,导出了剩余刚度统计分布的表达式,给出了确定模型参数的方法.利用该随机模型, 可以预报层板复合材料在给定应力水平的疲劳载荷作用下循环指定周次时剩余刚度的统计分 布.实验数据表明,理论预报和实验结果符合得很好. 关键词 层板复合材料,剩余刚度,疲劳,统计分布 0 引言 层板复合材料作为一类先进的工程结构材料,目前已广泛地应用于航天、 航空、 能源、 交 通等领域.层板复合材料表现出许多与金属材料不同的特性.层板复合材料的宏观力学性 能,不但与其组分材料的性能有关,同时还与组分材料的状况有关,如纤维断裂、 基体开裂、 脱胶和分层等.对于疲劳载荷作用下的层板复合材料结构,随着载荷循环次数的增加,材料 的刚度和强度等性能将发生衰退变化.利用唯象学的方法,层板复合材料的疲劳损伤可以分 别用剩余刚度和剩余强度的衰退来进行研究.由于剩余刚度的检测是无损的,而剩余强度的 检测需要对试件破坏后才能进行,因而用剩余刚度来描述层板复合材料的损伤变化具有较 大的优越性,对实际工程中的结构损伤检测具有重要的实际意义.文[1～6]利用概率统计的 方法对层板复合材料在疲劳载荷作用下的剩余强度和剩余刚度等性能进行了研究. 作者根据实验结果中刚度衰退变化的趋势,从唯象学的观点,设定了一个剩余刚度衰退 模型,根据该模型推导出了剩余刚度的统计分布模型.据此,只要具备了估计模型参数的实 验基本数据,便可以预报在某一应力水平下的剩余刚度统计分布.为验证该模型的适用性, 用碳纤维和玻璃纤维增强复合材料层板[0/±45/ 90/ 0]s的实验数据对模型参数进行了估 计.计算结果表明,剩余刚度统计分布的理论预报与实验结果符合得比较好. 1 刚度衰退模型 设 E( n) 为材料在第n次循环时的剩余刚度.从实验结果中剩余刚度变化的趋势可知, 剩余刚度随循环次数的衰退变化率可用描述为 第24卷 第1期 2003年 3月 固 体 力 学 学 报 ACTA MECHANICA SOLIDA SINICA Vol. 24 No. 1 March 2003 Ξ集美大学校科研基金(F06254)资助. 2001205231收到第1稿,2001211208收到修改稿. © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. d E( n) dn = -EA Cnc- 1 (1) 式中A、C为与应力范围、 加载频率等有关的参数.在本模型中,保持加载频率、 应力比等固 定不变.将式(1)从n1到n2积分,可得 E( n2) = E( n1)exp[ -A ( nc2-nc1 ) ] (2) 当n2=n , n1= 0时,式(2)成为 E( n) = E(0)exp[ - A nc](3) 可预设A、C存性关系 A = C1+ C2C(4) 式中C1、C2是两个与应力范围无关的常数.将式(4)代入式(3)得 E( n) = E(0)exp[ - ( C1+ C2C) nc] (5) 可以预设C与应力范围的关系为 C = B + C3S(6) 式中S是应力范围, C3是常数, B是一个随机变量.将式(6)代入式(5)得 E( n) = E(0)exp[ - ( C1+ C2B + C2C3S) nB + C3S] (7) 由于层板复合材料的各向异性和非均匀性,其初始刚度有很大的分散性.初始刚度E (0)的分布可用对数正态分布表示 F E( 0)( z) = P[ E(0) z ] = 1 2π σ0∫ z 0 1 z e - 1 2 ln ( z) - μ0 σ 0 dz(8) 式中μ0、 σ0分别为ln E( 0)的均值和方差. 随机变量B可用三参数威布尔分布来表示 fB( b) = A3 A2 ( b - A0 ) / A 2 A3-1exp - [ ( b -A0 ) / A 2] A3 (9) 由于剩余刚度 E( n) 是随机变量 E( 0)和B的函数,因此E( n)也是一个随机变量,具 有统计分散性,其概率密度分布函数可按多随机变量统计分布的方法[7]导出 fE( n)( u) =∫ TX A0 f E( 0) [ E( 0 ) ] f B ( b) J db(10) 式中 J = 5 E( 0) 5E( n) 5 E( 0) 5b 5B 5E( n) 5B 5b =exp[ ( C1+ C2b + C2C3S) nb+ C3 S ](11) 因此E( n)的统计分布函数为 FE( n)( x) = P[ E( n)≤x ] =∫ x 0∫ TX A0 f E( 0) [ E( 0 ) ] f B( b) Jdbdu = ∫ TX A0∫ x 0 f E( 0) [ E( 0 ) ]J d u f E( b)db =∫ TX A0 F E( 0)[ w ( x , b) ] fB( b)db (12) 式中TX为B取值上限, w ( x , b)由下式表示 w ( x , b) = xexp[ ( C1+ C2b + C2C3S) nb+ C3 S ](13) ·74·第1期 冯培锋等: 层板复合材料的疲劳剩余刚度衰退模型 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 2 模型参数的确定 2.1 初始刚度分布参数的估计 初始刚度对数正态分布的均值和方差,分别估计为 μ0= 1 L1-1∑ L1 i =1 lnEi(0 ) , σ 2 0= 1 L1∑ L1 i =1 [lnEi(0 ) - μ0]2(14) 式中L1是用于测试初始刚度试件的总个数. 2.2 确定单一试件的A和C值 通过变换,可将式(3)转换成线性方程 Y = D + CX(15) 式中 Y =ln ln E( 0) E( n) , X =ln( n)(16) 对每一试件的一组测量数据,借助于最小二乘法可确定计算C、D的表达式为 C = ∑ L i =1 ( X i- ?X) ( Yi-? Y) ∑ L i =1 ( X i- ? X) 2 , D =?Y -C?X(17) 式中L为试件的测量点数,?X和 ?Y为 ?X = 1 L ∑ L i =1 ln ( n i ) , ?Y = 1 L ∑ L i =1 ln ln E( 0) E( n) (18) 在确定了C和D的值后, A值为 A =exp( D)(19) 2.3 确定常数C1和C2的值 C1和C2的计算式为 C2= ∑ L1 i =1 ( A i- ?A) ( Ci-? C) ∑ L1 i =1 ( C i- ? C) 2 , C1=?A -C2?C(20) 式中L1为试件的总个数,?A和 ?C分别为 ?A = 1 L1∑ L1 i =1 Ai, ?C = 1 L1∑ L1 i =1 Ci(21) 常数C1和C2的值确定后,每一试件C的修正值 CRi= Ai-C1 C2 (22) 常数C3和随机变量的集合值 ?Bp分别为 C3= ∑ L1 i =1 ( C i- ?C) ( Si-? S) ∑ L1 i =1 ( S i-? S) 2 , ?Bp=?C -C3?S(23) ·84· 固体力学学报 2003年 第24卷 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 式中 ?C = 1 L1∑ L1 i =1 CRi, ?S = 1 L1∑ L1 i =1 Si(24) 2.4 确定随机变量B的样本值 随机变量B的样本值的计算式为 Bi= CRi-C3S , i =1,2,⋯, L1(25) 当确定了B的样本值后,其三参数威布尔分布的参数值A0、A2和A3可按标准变量法 进行估计. 3 实验结果与验证 图1 实验试件外形和尺寸 实验用材料为玻璃纤维/环氧层板[0/± 45/90/0]S,试件的外形和尺寸如图1所示.疲 劳实验在MTS New 810实验机上进行.疲劳循 环应力比σmin/σmax= 0. 1 ,加载频率为3 Hz.文 [8]设计了层板复合材料疲劳实验专用控制程 序. 实验材料静强度实验结果的平均值 ?X= 455.59 MPa ,标准偏差值σn- 1= 37. 07 MPa.疲 劳实验载荷应力水平用静强度的百分比来确定.用于确定模型参数的实验有七个应力水平, 在每一应力水平上有12个试件,各应力水如表1所示.用于验证剩余刚度统计分布理论模 型预报结果的实验应力水平S= 271. 800 MPa. 表1 实验用应力水平 百分比/ %60656657635554 应力水平/ MPa267. 342289. 62294. 076253. 975280. 709245. 063240. 608 图2 初始刚度对数正态概率分布 疲劳试验过程中,对每一试件先测量其初始 刚度,然后分别在50、100、500、1000、3000、5000、 8000、15000循环周次时测量试件的剩余刚度,直 至试件疲劳断裂.在每一循环周次时,停止疲劳加 载,进行静力拉伸并测取40对应力-应变数据, 用于计算剩余刚度值.有些试件在15000周次前 即断裂,只测取断裂前的数据.由于每个试件在给 定的循环周次时都要测量其剩余刚度,因此整个 实验数据量很大. 如表2所示是初始刚度的实验结果,经计算 ·94·第1期 冯培锋等: 层板复合材料的疲劳剩余刚度衰退模型 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 得其对数正态分布参数值μ0= 2.9664,σ0= 0.109.初始刚度的统计分布如图2所示,从图 中可知初始刚度是符合对数正态分布的,与模型中的设定一致. 表2 初始刚度实验结果/ GPa 序号123456789 初始刚度16. 4116. 8916. 9617. 5018. 2718. 6518. 8718. 8819. 00 序号101112131415161718 初始刚度19. 0419. 2819. 5519. 7819. 8419. 919. 9420. 1120. 17 序号19202122232425 初始刚度20. 420. 421. 1021. 8023. 5424. 3926. 14 如表3、 表4所示为两个试件在不同疲劳应力水平上,在各个疲劳循环周次时的典型剩 余刚度值,其中刚度比为剩余刚度与初始刚度的比值. 表3 编号为G4的试件在各个循环周次时的典型剩余刚度值(疲劳应力水平S= 297.076 MPa) 循环周次050100500100030005000800015000 剩余刚度/ GPa17. 50317. 33517. 30816. 91816. 70516. 34016. 13815. 95515. 464 刚度比1. 0000. 9900. 9890. 9670. 9540. 9340. 9220. 9120. 884 表4 编号为A6的试件在各个循环周次时的典型剩余刚度值(疲劳应力水平S= 267. 342 MPa) 循环周次050100500100030005000800015000 剩余刚度/ GPa19。