高等数学(交大)教案第二章.docx

高等数学教案 第二章一元函数微分学1第二章一元函数微分学内容及基本要求：1 .理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间 的关系2 .会用导数描一些物理量3 .掌握导数的四则运行法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数双曲函数的公式，了解微分四则运算法则和一阶微分形式不变法4 . 了解高阶导数的概念5 .掌握初等函数一阶、二阶导数的求法6 .会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数学习重点：导数和微分概念；导数的四则运行法则和复合函数的求导法， 基本初 等函数、双曲函数的公式；初等函数一阶、二阶导数的求法；隐函数 和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数学习难点：复合函数的求导法；隐函数和参数式所确定的函数的导数第一节导数的概念一.导数的定义1 .问题的引入(以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义)[自由落体运动的瞬时速度]已知作自由落体运动的物体的位移 s与其时间t的函数关系1 .2s s(t)万gt ,求该物体在t to时刻的瞬时速度v(to).(以均匀代替非均匀) 首先从物体的内的平均速度入手；①令物体移动时间t从t0变化到t0 t；②在t这个时间段物体的位移为, 、 ，、 1 z 、2 1 , 、2 1 2s s(to t) s(to) 2g(to t) 2g(to) gto t -g t ；③物体在t这个时间段内的平均速度为— s s(to t) s(to) 1v[to,to t] - 1 gto 2gt.(以极限为手段)然后得到瞬时速度.① 易见t愈小，t时间内的平均速度 v的值就愈接近to时刻的速度；② 因此，当t o时，v的极限自然定义为物体在 to时刻的瞬时速度，即定义v(to) litmos .. s(to t) s(to) .v lim —— lim - gto.tot to t o由此可见，物体在to时刻的瞬时速度是函数的增量 s与自变量增量 t比值当t 0的极限.推广到一般，可以归结为 一个函数y f(x)的增量 y与自变量的增量 x之比，当x趋于零时的极限.这种类型的极限我们称其为导数.2.导数的定义(1)函数y f(x)在一点x0处导数定义设函数y f(x)在N(xo，)内有定义,①当自变量x在x0处取得增量 x(点x0 x仍在该邻域内)时;②相应地函数y取得增量 y f (x0 x) f (x0);③如果 y与x之比当 x 0时的极限存在，则称函数 y f (x)在点x0处可导，并称这个极限为函数f (x)在点x0处的导数，记为f (xo),即y .. f(xo x) f(xo)(x0) lim - lim x 0 x x 0 x山dy t df(x)也可记为 y , 上 或 —— .x x0 dx x x0 dx x x0也称函数增量与自变量增量之比 一y是函数y在以x0及x0 x为端点的区间上的 平x均变化率，导数f (x0)是函数y f (x)在点x0处的变化率，即 瞬时变化率.(2)函数y f (x)在一点x处导数——导函数0时的极限存在，则称函将x0处导数定义中的x0换成x ,如果 y与x之比当 x数y f (x)在点x处可导，并称这个极限为函数 y f (x)在点x处的导数，记为 f (x),即y f (x x) f (x) f (x ) lim —— lim .x 0 x x 0 x显然，当x在某区间I内变化时，f (x)是x的函数.因此称之为 导函数.导函数的1 口、才占 dy — df (x)记万还有y , 1或 一.dx dx函数y f(x)在点x0的导数f(3) x0处导数与导函数的关系(x0)是导函数f (x)在点x x0处的函数值.即f(x。

) f (X)xx0通常，导函数简称为导数.例1求函数y x2的导数以及在 X 1点的导数.3.不可导的情形由可导定义，如果limX I的极限不存在，即有下述情况之一，称函数 y f(X)在点Xo处不可导.4.(1) lim —y =X 0 X2 (1)求函数y(2)求函数y导数定义的不同形式(2)lim -y无稳定的变化趋势.X 0 X0处的导数.0处的导数.(X0)(X0).h) f(x0 h)h 0 h(2)已知 f(x) (x a) (x), (x)在 x a处连续，求 f (a).(3)计算极限arctan x 一"im3 x .3 3二.导数的几何意义1.导数的几何意义设曲线C的方程为yf(x) , MJy0)是曲线C上的一点，求曲线在点 M处的切线方程.f (Xo X) f(X0)(1) lim = f (x0)；X 0 X⑵ lim f(X0 h) f(X0)=f()； h 0 hf(X) fd)(3) lim =f(X0)；X X0 X X0f(X0) f(X0 X)_(4) lim = fX 0 X，-、 1 •(5)lim l f (x0 -) f (x0) = f例3 (1)已知f (x0)存在，求lim "X°第二章一元函数微分学割线(1)在曲线上另取一点 M1(x0x, yoy),如图3所示，连接M , Mi两点，得图3MM i .割线MM i对x轴的倾角为 ，其斜率为tan#(2)当x o时，点Mi沿曲线C趋向点M ,割线的极限位置 MT为曲线f (x)在点M处的切线.此时lxmoy=lim tan =tanlim tan k其中是切线MT关于x轴的倾角.从而曲线 C在点M处的切线斜率为k= f (xo).由此可知，函数y f (x)在点xo处的导数f (xo)在几何上表示曲线 y f (x)在点M(xo , f(xo))处的切线的斜率k,即f (xo) tan k .其中是切线的倾角.因此曲线yf(x)在点M(x0 , yo)处的切线方程为y yof (xo)(x xo)；当 f (x0)。

时，法线方程为y yof (xo)(x xo).特殊地，f (xo) o时，曲线y f (x)在点(xo, yo)的切线平行于x轴.当f (xo) 时，曲线y f (x)在点(xo, yo)的切线垂直于x轴.此时，切线的倾角为高等数学教案 第二章一元函数微分学一 ，、 1 .1 ~例4 求y i在点（万，2）处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方1，，、程.（答案 切线的斜率为 4,切线方程为4x y 4 0;法线的斜率为 ‘，法线方4程为 2x 8 y 15 0）三.可导与连续的关系1.可导必连续设函数yf(x)在点x可导，即lim —y x 0 xf （x）存在，由极限与无穷小量的关系知y f (x) x其中是x 0时的无穷小量.上式两端同乘以y f (x) x由此可见，当 x 0时，y 0.即函数y2.连续未必可导X,得x .f (x)在点x连续.例如，函数y | x|在点x 0处连续（图1）,但由例题2 （1）知，y | x |在点x 0处不可导. 同样，函数y 3'x在点x 0处连续（图2）,但由例题2 （2）,中，y Vx 在点x 0处不可导.由上面的讨论可知， 函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函 数在某点不连续，则函数在该点必不可导.2.函数在某点可导与该点存在切线的关系(1)可导必有切线；因为函数在某点可导，则在该点切线的斜率存在，自然存在切线 ^(2)有切线未必可导.例如，曲线y 3/X在点x 0处有垂直于x轴的切线(图2),但它在x 0不可导.四.科学技术中的导数问题举例变化率 当因变量y随自变量x均匀变化时，y是x的线性函数，x改变单位长度 时y的改变量，即 ,总是一个常数，它反映了 y随x变化的快慢程度，叫做变化率。

求函数y f(x)在点x0处变化率的方法可以归纳为以下两步：(1) 局部均匀化求近似值；(2) 利用求极限得精确值设作变速直线运动的质点的运动方程为 s s(t),质点在to时刻的瞬时速度v(t0)是s s(t)在to点的导数值s(to).例5物体做直线运动的方程为 s 3t2 5t ,求(1)物体在2秒时的速度；(2)物体运动的速度函数.#第二节求导的基本法则一.函数和、差、积、商的求导法则设 u u(x), v v(x),w w(x)在 x点处有导数 u u(x),v v(x),w w(x)，则法则1:两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)，即(u v) u v.(u v w) u v w.证明设 f (x) u(x) v(x)，则f (x x) f (x) .. [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)]f (x) lim - lim x 0 x x 0 xu(x x) u(x) v(x x) v(x) u .. vlim [― — — -] lim —— lim u v .x 0 x x x 0 x x 0 x所以(u v) u v.例1求y x3 5的导数.解 y (x3 5) (x3) (5) 3x2 0 3x2.例 2 设 f(x) x3 4cosx sin万,求 f (x)及 f (—).解 f (x) 3x2注意：f ( ) f20),所以24sin x 0 3x 4sin x,(注意：(sin,)3 2f (a); 4.例 4 设 y ex(sin x cosx)，求 y .解 y (ex) (sin x cosx) ex(sin x cosx)x x xe (sin x cosx) e (cosx sin x) 2e cosx.例5设f(x) (x a) (x), (x)为连续函数，求f (a).f (a h) f (a) h (a h)斛 f (a) lim - - lim lim (a h) (a).h 0 h h 0 h h 0错误解法：f (x) [(x a)] (x) (x a)[ (x)] (x) (x a) (x),所以 f (a)= (a).错误的原因是：(x)不一定可导.法则3:两个可导函数之商的导数 的乘积，再除以分母的平方.即(-)V，等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子u v uv2V.(V 0)，求y .(x22 2 21)(x2 1) (x2 1)(x2 1)2 22x(x2 1) (x2 1) 2x(x21)2/ 2 2(x 1)4xT-2 TI .(x 1)ln x _f，求y .x(ln x) xn ln x2n x(xn)1 n n 1 \-x ln x (nx )x2n x1 f(1 nlnx). xy tan x,求 y .sinx. 2、，(tan x) ( ) sec 。