初中数学竞赛精品标准教程及练习12：用交集解题.pdf

中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（12）用交集解题一、内容提要1某种对象的全体组成一个集合组成集合的各个对象叫这个集合的元素 例如 6 的正约数集合记作6 的正约数 1，2，3，6 ，它有 4 个元素 1，2，3，6；除以 3 余 1 的正整数集合是个无限集，记作除以3 余 1 的正整数 1，4，7，10 ，它的个元素有无数多个2由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如 6 的正约数集合 A1，2，3，6 ，10的正约数集合 B1，2，5，10 ，6 与 10的公约数集合 C1，2 ，集合 C是集合 A和集合 B的交集3几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集正整数集不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集例如不等式组)2(2) 1(62xx解的集合就是不等式（ 1）的解集 x3 和不等式（ 2）的解集 x2 的交集， x3.如数轴所示：0 2 3 4一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。

把符合每个条件的所有的解 （即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案 （如例 2）二、例题例 1. 一个自然数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值解：除以 3 余 2 的自然数集合 A2，5，8，11，14，17，20，23，26，除以 5 余 3 的自然数集 B3，8，13，18，23，28，除以 7 余 2 自然数集合 C 2，9，16，23，30，集合 A、B、C的公共元素的最小值23 就是所求的自然数整数集正数集正整数集精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数解：二位的质数共 21 个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是 1，3，7，9 ；其中差等于 6 的有： 1 和 7；3 和 9；13 和 7，三组；平方数的个位数字相同的只有3 和 7；1 和 9 二组。

同时符合三个条件的个位数字是3 和 7 这一组故所求质数是： 23，17；43，37；53，47；73，67 共四组例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有 28人，订阅 B种刊物的有 21人，其中 6 人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订 B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合， 则两圆重叠部分就是它们的交集 （A、B两种都订的人数集合） 只订 A种刊物的人数是 28622 人；只订 B刊物的人数是 21615 人；小组总人数是 22156144 人设 N，N（A） ，N （B） ，N（AB ） ，N分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得公式一 NN+ N（A）+N （B）N（AB ） 例4. 在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有 18人，排球有 10 人，同时会玩乒乓球和篮球的有6 人，同时会玩乒乓球和排球的有4 人，三种球都会的只有1 人，问：有多少人只会打乒乓球同时会打篮球和排球只会打排球？解：仿公式一 , 得公式二：N N+ N（A）+N （B）+N(C)N（AB ）N（AC ）N(BC)+N(ABC) 只会打乒乓球的是2464115（人）求 N（BC ）可用公式二：4024181064N（BC ）1 N （BC ）3，即同时会打篮球和排球的是3 人只会打排球的是 10316（人）ABC 1AB 6AC 4 A24B18C 10ABB 21A 28只B15只A226精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 例 5. 十进制中，六位数8719xy能被 33整除，求 x 和 y 的值解：0 x，y9， 0 x+y18， 9xy9，x+yxy 33311，19x+y+87 的和是 3 的倍数，故 x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8) (9+y+7) 是 11 的倍数，故 xy=4，7 x+y 和 xy 是同奇数或同偶数，它们的交集是下列四个方程组的解：48yxyx414yxyx711yxyx717yxyx解得62yx95yx29yx512yx（x=12不合题意舍去）答： x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2 三、练习 12 1负数集合与分数集合的交集是2等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。

312 的正约数集合 A ，30的正约数集合 B12和 30 的公约数集合 C ，集合 C是集合 A和集合 B 的4解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：563xx052xx22131xx0202xx5某数除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值6九张纸各写着 1 到 9 中的一个自然数（不重复） ，甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？7求符合如下三条件的两位数：能被3 整除它的平方、立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同8据 30 名学生统计，会打篮球的有22 人，其中 5 人还会打排球；有2 人两种球都不会打那么会打排球有几人？只会打排球是几人？9100 名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和 B进行表决，赞成 A的有 52票，赞成 B的有60 票，其中 A、B都赞成的有 36人，问对 A、B都不赞成的有几人？10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24 人，物理 18 人，化学 10 人；按两科统精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5 人，没有三科都参加的人。

求参赛的总人数，只参加数学科的人数本题如果改为有 2 人三科都参加呢？）11. 053yxyx12. 十进制中，六位数2851xy能被 21 整除，求 x,y 的值（仿例 5）三、练习 12 参考答案：1.负分数2. 等腰，直角3. 交集4 x5, x-2, -3x1, 空集5. 16 6. 7 7. 30，60，90，15，75，66（从个位数为 0，15，6 中找）8. 11 人，6 人9. 由100N526036得N24 10. 30人，7 人；32 人，9 人11.41yx12. , 5, 0yx（仿例 5）精品p d f 资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 。