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硕士研究生入学统一考试数学试题一、填空题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分.) (1) 011limcot()sinxxxx_. (2) 曲面23zzexy在点 (1,2,0)处的切平面方程为_. (3) 设sinxxuey, 则2ux y在点1(2,)处的值为 _. (4) 设区域D为222xyR, 则2222()Dxydxdyab_. (5) 已知1 1(1,2,3),(1, , )2 3, 设TA, 其中T是的转置 , 则nA_. 二、选择题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分.) (1) 设4222sincos1xMxdxx,3422(sincos)Nxx dx,23422(sincos)Pxxx dx, 则 ( ) (A) NPM (B) MPN(C) NMP (D) PMN(2) 二元函数( ,)f x y在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是( , )f x y在该点连续的 ( ) (A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件(3) 设常数0, 且级数21nna收敛 ,则级数21|( 1)nnnan ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛(C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关(4) 20tan(1cos )lim2ln(12 )(1)xxaxbxcxde, 其中220ac, 则必有 ( ) (A) 4bd (B) 4bd(C) 4ac (D) 4ac(5) 已知向量组1234、线性无关 , 则向量组 ( ) (A) 12、23、34、41线性无关 (B) 12、23、34、41线性无关(C) 12、23、34、41线性无关(D) 12、23、34、41线性无关三、 ( 本题共 3 小题 , 每小题 5 分, 满分 15 分.) (1) 设2221cos( ),1cos( )cos,2txtyttuduu求dydx、22d ydx在2t的值 . (2) 将函数111( )lnarctan412xf xxxx展开成x的幂级数 . (3) 求sin22sindxxx. 四、 ( 本题满分6 分) 计算曲面积分2222Sxdydzz dxdyxyz, 其中S是由曲面222xyR及两平面,zR(0)zR R所围成立体表面的外侧. 五、 ( 本题满分9 分) 设( )f x具有二阶连续导数,(0)0,(0)1ff, 且2()( ) ( )0 xy xyf x y dxfxx y dy为一全微分方程, 求( )f x及此全微分方程的通解 . 六、 ( 本题满分8 分) 设( )f x在点0 x的某一领域内具有二阶连续导数, 且0( )lim0 xf xx, 证明级数11()nfn绝对收敛 . 七、 ( 本题满分6 分) 已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S. 求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积. 八、 ( 本题满分8 分) 设四元线性齐次方程组( )为12240,0,xxxx又已知某线性齐次方程组()的通解为12(0,1,10)( 1,2,2,1)kk. (1) 求线性方程组( )的基础解系；(2) 问线性方程组( )和()是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解. 若没有, 则说明理由 . 九、 ( 本题满分6 分) 设A为n阶非零方阵 ,*A是A的伴随矩阵 ,TA是A的转置矩阵 , 当*TAA时, 证明| 0A. 十、填空题 ( 本题共 2 小题 , 每小题 3 分, 满分 6 分 .)(1) 已知A、B两个事件满足条件()()P ABP AB, 且()P Ap, 则()P B_. (2) 设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律, 且X的分布律为X01P1212则随机变量max,ZX Y的分布律为 _. 十一、 ( 本题满分6 分)已知随机变量(,)X Y服从二维正态分布, 且X和Y分别服从正态分布2(1,3 )N和2(0,4 )N,X与Y的相关系数12XY, 设32XYZ, (1) 求Z的数学期望()E Z和方差()D Z；(2) 求X与Z的相关系数XZ；(3) 问X与Z是否相互独立？为什么？1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分.) (1) 【答案】16【解析】原式变形后为“00”型的极限未定式, 又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则, 有原式20cos (sin )limsinxx xxxx300sinlimcoslimxxxxxx2001cossin1limlim366xxxxxx. (由重要极限0sinlim1xxx) (2) 【答案】240 xy【解析】所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点(1,2,0)处法线方向的方向向量l,取nl, 又平面过已知点(1,2,0)M. 已知平面的法向量( ,)A B C和过已知点000(,)xyz可唯一确定这个平面：000()()()0A xxB yyC zz. 因点(1,2,0)在曲面( , , )0F x y z上. 曲面方程( , , )23zF x y zzexy. 曲面在该点的法向量(1,2,0)(1,2,0),2 ,2 ,14,2,02 2,1,0zFFFnyxexyz,故切平面方程为2(1)(2)0 xy, 即240 xy. (3) 【答案】22e【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关, 为了简化运算, 所以本题可以先求uy, 再求uxy. 2cosxuxxeyyy, 2221112(2,)(2,)2cosxyxxuuuxexx yy xxyx2222(1)cos)0 xxexxe. ( 可边代值边计算, 这样可以简化运算量.) 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数( , ),( , )ux yvx y都在点( , )x y具有对x及对y的偏导数 , 函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数, 则复合函数( ( , ),( , )zfx yx y在点( , )x y的两个偏导数存在,且有12zz uz vuvffxuxvxxx；12zzuzvuvffyuyvyyy. (4) 【答案】42211()4Rab【解析】很显然, 根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式2222222322220000cossincossinRRdrrdrdr drabab. 注意：222200cossindd, 则原式4422221111144RRabab. (5) 【答案】111123232133312n【解析】由矩阵乘法有结合律, 注意11 11,232 33T是一个数 , 而1112311 1221, ,212 3333312TA,( 是一个三阶矩阵) 于是 , ()()()()nTTTTTTTTALL11111232332133312nTn. 二、选择题 ( 本题共 5 个小题 , 每小题 3 分, 满分 15 分.) (1) 【答案】 (D) 【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性. 由对称区间上奇偶函数积分的性质, 被积函数是奇函数, 积分区间关于原点对称,则积分为 0, 故0M, 且由定积分的性质, 如果在区间, a b上, 被积函数( )0f x, 则( )0 ()baf x dxab. 所以4202cos0Nxdx,4202cos0PxdxN. 因而PMN, 应选 (D). (2) 【答案】 (D) 【解析】( ,)f x y在点00(,)xy连续不能保证( ,)f x y在点00(,)xy存在偏导数00(,),xfxy00(,)yfxy. 反之 ,( , )f x y在点00(,)xy存在这两个偏导数00(,),xfxy00(,)yfxy也不能保证( ,)f x y在点00(,)xy连续 , 因此应选 (D). 二元函数( ,)f x y在点00(,)xy处两个偏导数存在和在点00(,)xy处连续并没有相关性. (3) 【答案】 (C) 【解析】考查取绝对值后的级数. 因22222( 1) |111112222nnnnaaannn, ( 第一个不等式是由2210,0,()2ababab得到的 .) 又21nna收敛 ,2112nn收敛 ,( 此为p级数：11pnn当1p时收敛；当1p时发散 .) 所以2211122nnan收敛 ,由比较判别法, 得21( 1) |nnnan收敛 . 故原级数绝对收敛,因此选 (C). (4) 【答案】 (D) 【解析】因为22211 cos( ),1( )2xxxo xexo x:, 故tan(1cos ) (0)axbxaxa:, 2ln(12 )(1)2 (0)xcxdecxc:, 因此 , 原式左边0lim222xaxacxc原式右边 ,4ac. 当0,0ac时, 极限为 0；当0,0ac时, 极限为, 均与题设矛盾, 应选 (D). 【相关知识点】1. 无穷小的比较：设在同一个极限过程中,( ),( )xx为无穷小且存在极限( )lim.( )xlx（1）若0,l称( ),( )xx在该极限过程中为同阶无穷小；（2）若1,l称( ),( )xx在该极限过程中为等价无穷小, 记为( )( )xx:；（3）若0,l称在该极限过程中( )x是( )x的高阶无穷小, 记为( )( )xox. 若( )lim( )xx不存在 (不为), 称( ),( )xx不可比较 . 2. 无穷小量的性质：当0 xx时,( ),( )xx为无穷小 , 则( )( )( )( )( )xxxxox:. (5) 【答案】 (C) 【解析】这一类题目应当用观察法. 若不易用观察法时可转为计算行列式. (A) ：由于122334410, 所以 (A) 线性相关 .(B) ：由于122334410, 所以 (B) 线性相关 . 对于 (C), 实验几组数据不能得到0 时, 应立即计算由的系数构成的行列式, 即100111002001100011, 由行列式不为0, 知道 (C) 线性无关 . 故应选 (C). 当然 ,在处理 (C) 有困难时 , 也可来看 (D), 由12233441()()()()0, 知(D) 线性相关 , 于是用排除法可确定选(C). 【相关知识点】12,sL线性相关的充分必要条件是存在某(1,2, )iisL可以由111,iisLL线性表出 . 12,sL线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2, )iisL均不能由111,iisLL线性表出 . 三、 ( 本题共 3 小题 , 每小题 5 分, 满分 15 分.) (1) 【解析】dydydtdydxdtdtdxdtdx222221cos2sincos22(0),2 sintttttttytt txtt同理2()12 sinxtxxtyyxtt, 代入参数值2t, 则22xty, 212xxty. 【相关知识点】 1. 复合函数求导法则: 如果( )ug x在点x可导 ,而( )yf x在点( )ug x可导 , 则复合函数( )yfg x在点x可导 , 且其导数为( )( )dyfug xdx或dydy dudxdu dx. 2. 对积分上限的函数的求导公式：若( )( )( )( )ttF tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导 , 则( )( )( )( )( )F ttfttft.(2) 【解析】111( )ln(1)ln(1)arctan442f xxxxx. 先求( )fx的展开式 . 将( )f x微分后 , 可得简单的展开式, 再积分即得原函数的幂级数展开 . 所以由2(1)(1)(1)(1)1,2!nnxxxxnLLL( 11)x该级数在端点1x处的收敛性 , 视而定 . 特别地 , 当1时 , 有2311( 1),1nnxxxx。