杆系结构单元.pdf

第五章 杆系结构单元 5.1 概述 杆系结构 主要有：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 梁 拱 框架 ○ ○ ○ ○ ○ 桁架 坐标系 有限元中的坐标系有 结构坐标系 和 单元坐标系 对于一个结构，结构坐标系一般只有一个；而单元坐标系有很多个，一个单元就有一个单元坐标，并且对每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元的单元刚度矩阵相同，给单元分析带来方便 X Y ○ ○ ○ ○ ○ P x y x y 杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型它们都只有 2个节点 i、 j  约定： 单元坐标系的原点置于节点 i；节点 i到 j的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中 x轴的正向 y轴、 z轴都与 x轴垂直，并符合右手螺旋法则  对于梁单元， y轴和 z轴分别为横截面上的两个惯性主轴 x y z i j · · 5.2 杆单元 下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为 A，长度为 l，弹性模量为 E，轴向分布载荷为 px。

单元有 2个结点 i， j，单元坐标为一维坐标轴 x · · i j x l LINK px uj ui 1、一维杆单元 单元结点力向量： jieFFF }{（ 1）位移模式和形函数 ① 位移模式 单元结点位移向量  jieuu因为只有 2个结点 ， 每个结点位移只有 1个自由度 ，因此单元的位移模式可设为： xaau 21  （ 5-3） 式中 a1、 a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj 确定再将由此确定的 a1、 a2 其代入式（ 5-3），得 xl uuxl uuuu ijiiji  )(（ 5-4） a1 a2 ② 形函数 将式（ 5-4）改写为下列形式 eNu }]{[  （ 5-5） 式中形函数 [N]为 )]()[(1][][ xxxxlNNN ijji （ 5-6） （ 2）应变矩阵 一维铰接杆单元仅有轴向应变 dxdu将式（ 5-5）、（ 5-6）代入上式，得 el }]{11[1  上式也可写为 eB }]{[   （ 5-7） 式中 [B]为应变矩阵 ]11[1][][ lBBB ji（ 5-8） 由应力应变关系 （ 3）应力矩阵  E将式（ 5-7）代入上式，得 ee SBE }]{[}]{[   （ 5-9） 式中 [S]为应力矩阵 ]11[][  lES（ 5-10） (4) 单元刚度矩阵 单元刚度矩阵仍式（ 1-33）推出     dvBDBkvTe ][（ 1-33） 对于等截面铰接杆单元（截面积为 A ） ， v=Adx，故有：     dxBDBAkvTe ][(5-11) ]11[1][][  lBBB ji (5) 等效节点力 单元上作用分布力 px，则等效节点力计算公式仍为以下形式 NF xTe  ][}{当分布力集度 px为常数时，有  112)()(1}{ lpxxxxlF xxijxxepjix（ 5-13） )]()[(1][][ xxxxlNNN ijji 1111][lEAk e （ 5-12） 将式（ 5-8）代入上式，得 例 5-1 一维拉杆 图示阶梯形直杆，各段长度均为，横截面积分别为 3A， 2A， A，材料重度为 γ ，弹性模量 E。

求结点位移和各段杆中内力 离散化： 将单元划分为 3个单元， 4个结点 单元刚度矩阵： 2111113][ )1( lAEk1 2 3211112][ )2( lAEk2 3 431111][ )3( lAEk3 4 1111][lEAk e等效结点荷载：按静力等效原则，有 : 1123][ )1( lAF1122][ )2( lAF112][ )3( lAF对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程 : }{}]{[ FK 设结点 1的约束反力为 F1，则有 : 整体结构平衡方程 lAlAlAlAFuuuulEA21)2122()2223(2311001122002233003314321划去节点 1所对应的第 1行、行 1列 解得结点位移 Eluuu21351101320252432EluEluElu  242322 81981587 单元应力 单元应变  EAN 单元应变： luu ij  ElluuElluuElluu234)3(223)2(212)1(2187 2、平面 桁架 杆单元（ 2D LINK1） 1 2 3 4 i j x y l （ 1）单元坐标单元位移向量  4321e 1 2 3 4 i j x y 看成局部坐标下的拉压杆 （ 2）位移模式和形函数 ① 位移模式 由于平面铰接杆单元只有轴向力。

位移模式同式（ 5-3）、（ 5-4） y方向位移不引起单元力 ） ② 形函数 ]0)(0)[(1][][ xxxxlNNN ijji （ 5-14） )]()[(1][][ xxxxlNNN ijji xaau 21 eB }]{[  应变矩阵 [B]为 ]0101[1][][  lBBB ji（ 5-15） （ 4）应力矩阵 ee SBE }]{[}]{[  应力矩阵 [S]为 ]0101[][  lES（ 5-16） （ 3）应变矩阵  010120)(0)(1}{plpdxxxxxlFijxxepji（ 5-16） (6) 局部坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元， 0000010100000101][lEAke （ 5-17） 1111][lEAk e(5) 等效节点力 静力等效 i j x y l z 3、空间杆单元（ 3D LINK8） （ 1）单元坐标单元位移向量 1 2 4 5 3 6    Te 654321   （ 5-18） （ 2）形函数 ]00)(00)[(1][ xxxxlN ij  （ 5-19） （ 3）应变矩阵 （ 5-20） ]001001[1][  lB（ 4）应力矩阵 ]001001[][  lES（ 5-21） (5) 等价节点力  Te plF 0010012}{  （ 5-22） (6) 单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元， （ 5-23） 000000000000001001000000000000001001][lEAke1111][lEAk e5.4 梁单元 1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元 i j x y i j x y 1 2 3 4 l F1 F2 F3 F4 l （ 1）局部坐标下单元位移和单元力 ① 单元位移      TjjiiTe vv   4321 （ 5-24） 其中， v—— y方向位移，即挠度。

—— 角位移 ② 单元力      TjjiiTe MQMQFFFFF  4321 （ 5-26） 其中， Q—— 剪力 M—— 弯矩 3322dxvdEIQdxvdEIM（ 5-27） dxdv（ 2）位移函数和形函数 342321)( xaxaxaaxv  （ 5-28） ① 位移模式 设单元坐标位移模式为 ② 形函数 由单元两端点的节点位移条件，解出式（ 5-28）中的 a1、 a2、 a3、 a4再代入该式，可将位移模式写为以下形式： i j x y 1 2 3 4 l 梁单元内一点有 2个位移： v、  因为， =dv/dx； 仅一个位移是独立的，取 v eNxv }]{[)(  （ 5-29） 式中 ][][ 4321 NNNNN  （ 5-30） 232433232322233231/)(/)23(/)2(/)23(lxlxNlxlxNlxlxxlNlxlxlN（ 5-31） （ 3）应变矩阵 ① 单元弯曲应变 b与节点位移 e的关系。

梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为： 22dxvdyb （ 5-32） 1 22t a ndxvdyyyb  1 x y y    )(1 22dxdvdxvddxd  ρ 将式（ 5-29）代入（ 5-32），得单元弯曲应变和单元位移之间关系 （ 5-34）    )26()612()46()612(3 lxllxxllxl yB  4321][ BBBBB eb B }]{[  （ 5-33） （ 4）应力矩阵 eNxv }]{[)(       eebb SBEE   （ 5-35） [D][B] (5) 等效节点力 对于梁上作用的集中力或集中力矩 ， 在划分单元时可将其作用点取为结点 ， 按结构的节点载荷处理 这里仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节点力问题 x y i j l py(x) （ 5-36）    dxxpNF yTlepy)(0 将形函数矩阵 [N]代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力。

表 1给出了几种特殊情况的等价节点力 荷载分布 Qi Mi Qj Mj ql/2 ql2/12 ql/2 - ql2/12 3ql/20 ql2/30 7ql/20 - ql2/20 ql/4 5ql2/96 ql/4 - 5ql2/96 i j q q i j q i j 几种横向分布荷载等价节点力 表 1 (6) 单元坐标单元刚度矩阵 梁单元刚度矩阵公式为 将式（ 5-34）代入上式进行积分，并注意到 Iz—— 梁截。