大学物理：第七章 波动学基础2.ppt

第7章,波动学基础（二）,补充知识 物体的弹性形变* (了解),固体、液体和气体在外力作用下都会发生弹性形变，形变有以下几种形式：,1、线变(strain),长为 l，截面为S 的一段固体棒，两端受到图示作用力时，发生 的形变,应力和线应变成正比, 即,比例系数 E 称为杨氏模量,外力不太大时, 较小, S 基本不变, 近似为常数,用 k 表示, 则,2、切变,k 称为劲度系数.,材料发生线变时, 有弹性势能, 用 表示,单位体积的弹性势能,底面积为S , 高为D的一段固体, 两侧面受图示剪切力作用时, 发生剪切形变.,材料发生切变时，也具有弹性势能单位体积的切变弹性势能为:,切应力 与切应变 成正比. 即,比例系数G称为切变弹性模量在横波中,介质各质元发生切变, 纵波中,介质各质元发生线变它们都具有相应的势能3、体变,一块媒质, 体积为V, 受到压强为p，当压强加大为 时, 体积变为 , 称 为 体应变胡克定律表示式为:,K 称为体变弹性模量材料发生体应变时也具有弹性势能1、波的能量,7.3 波的能量 声波,以纵波在棒中传播为例, 推导波动传播时, 媒质中任一体元的能量设棒中纵波的波动表达式为,设棒的截面为S ,密度为 。

在x 处取体元, 原长为 ,体元的质量,则体元的振动速度为,体元的动能为,下面推导体元的势能,设体元左端的位移为y, 右端的位移为 , 则体元的 长度变化量为 , 其长应变为 或 .,由杨氏模量定义,所以体元的弹性势能为,由杨氏模量定义 ，得体元受到的弹力为,可见, 任一时刻体元的动能和势能相等, 且相位相同体元的总能,即: 体元的总机械能不守恒, 随 t 周期性变化说明波动中每一质元都在不断地从前一质元中吸收能量, 又不断把能量传给后一质元媒质中所有质元的动能与势能之总和称为波的能量体元的动能与势能同相位的定性解释,波动中与势能联系的是质元之间的相对位移, 即体元的 形变 (长应变) , 在波形曲线中就是曲线的斜率(如图)在A点, 位移最大，动能为零，同时 为零，因而势能为零;,在B点, 位移为零，动能最大，同时波形曲线最陡， 最大, 因而势能最大2、波的能量密度和能流密度(了解),能量密度 单位体积内波的能量,平均能量密度,能流密度 ,在单位时间内通过垂直于波线的单位面积上的平均波的能量W.m-2,能流密度也叫波的强度.,*3、声波,声波是一种纵波，频率在20Hz20KHz的声波能引起听觉，称为可闻声波；频率高于20KHz的声波称为超声波，频率低于20Hz的声波称为次声波。

超声波和次声波对人体都有某些害处描述声波的物理量,（1）声压介质中有声波传播时的压强和无声波传播时的静压强差称为声压2）声强 声强级,声强即声波的平均能流密度,式中 为声压振幅，可见声强与频率的平方、振 幅的平方成正比,引起听觉的声波，不仅有频率范围，还有声强范围能引起听觉的最低声强称为听觉阈，高于上限的声强（称为痛觉阈）也不能听见，声强的上下限值随频率而异，1Hz时，正常人听觉的最高声强为10W/m2，最低声强为I0=10-12W/m2由于可闻声强的数量级相差很大，通常以对数标度，,贝尔单位太大，常用分贝（db)作为声强级的单位,单位：贝尔（Bel),声音响度与声强有一定关系，见书中表7-1,（db),波动第二次作业,P221226页 5, 6, 13 计 22,1、波的叠加原理(superposition principle),几列波可以保持各自的特点（ 频率、波长、振幅、振动方向等）同时通过同一介质，即波的传播具有独立性在叠加区域内，媒质中任一质点的振动位移是各列波单独存在时在该点产生的振动位移的矢量和7.4 波的干涉,2、波的干涉(interference),相干波源的条件,频率相同，振动方向相同，相位差恒定的波源称为相干波源。

它们发出的波称为相干波(coherent wave) 两相干波在空间相遇叠加时，出现某些点的振动始终加强，而另有一些点的振动始终减弱的现象波的干涉,设两波源的振动方程为,它们发出的波传到P点, 引起 P 点振动的两分振动表达式为,干涉加强减弱的条件,P 点的合振动表达式为,式中,即: 合振动的振幅与两分振动的相位差 有关,而,(1) 当 P 点位置适合,合振幅有最大值(加强),特别是当 时,波程差,(2) 当 P 点位置适合,合振幅最小(减弱),写到一起,干涉加强减弱的条件,解,设,所以，P 点的合振幅 A = 0 ，静止 .,25 m,例1 s1和 s2 为两相干波源，振幅均为 5 m ，频率为100 Hz ，它们发出的波在媒质中的波速为 500 m/s . 设两波源的相位差为 ，求两列波在 P 点的干涉结果 .,7.5 驻 波(波干涉的特例),1、驻波(standing wave)的形成,两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时, 叠加的结果便形成驻波绳子上形成驻波的实验装置图,2、驻波波函数,当A B 距离适当时，绳上形成驻波振幅最大的点称为波腹(wave loop), 始终静止的点称为波节(wave node) 。

绳子分段振动，同一段上的各点，振幅不同，相位相同；相邻两段的各点，振动相位始终相反驻波没有振动状态和相位的传播波腹,波节,如果把坐标原点取在入射波和反射波振动相位始终相同的点，且在 处质点振动达正最大位移的时刻开始计时 ，则入射波和反射波的波函数为,合成波即驻波波函数,利用,（1）此波函数不表示行波，因为它不含 因子,（2）此波函数只表示各质点都作不等幅但同频率的简谐振动. 坐标为 x 处的质点振动的振幅为,这就是合成波(驻波)方程或叫驻波波函数利用,3、驻波的波形特征,（1）波腹和波节的位置,所以波腹的位置,振幅最大的点叫波腹, 振幅值为2A始终静止的点为波节, 振幅值为0 .,故，波节的位置,相邻两个波节（或波幅）的间距为,(2) 驻波中各点的相位,驻波分段振动, 相邻两波节之间的各点振动相位始终相 同，任一个波节两边的点, 振动相位始终反相. 驻波没有 振动状态或相位的传播4、半波损失,固定端 B 为波节说明入射波与反入射波在 B 点进行反相叠加， 或在 B 点反射时反射波发生了相位的突变进一步的实验证实:,波在固定端反射时有半波损失, 反射点为波节;,波在自由端反射时无半波损失, 反射点为波腹。

波疏介质,波密介质,半波损失与两种介质的性质和入射角有关.,垂直入射时, 波从波疏介质入射到波密介质界面反射时, 反射波有半波损失.,5、弦线振动的简正模式,弦线上形成驻波的条件,利用关系 , 可写出弦线 上驻波的可能频率为,上式中的频率为弦线振动的本征频率本征频率对应的振动方式称为弦线振动的简正模式驻波与平面简谐行波比较,(1) 振幅,行波(traveling wave)：弦线上每个质点都以相同的振幅振动；,驻波：不同质点的振幅不相同，质点的振幅随质点的位置x而改变2) 能量,行波：能量随波传播出去；,驻波：能量不能流过弦线上的节点，节点是静止不动的，呈“常驻状态”，在振动动能和弹性势能之间交替变换3) 驻波的实质,驻波的实质是一种特殊形式的简谐振动驻波叫做波动的理由在于这个运动可以看作为沿相反方向行进的二个波的迭加，结果使弦线上各个质点都以相同的角频率和因位置而异的振幅做振动解:,入射波引起 B 点振动的方程, 令 x = L,B 点反射后,反射波方程,解:,x1点干涉相消,x2点干涉相消,例3 两相干波源 S1、S2 相距d = 30 m, S1、S2 发出的波沿 x 轴传播, 强度不变. 已知 和 是两相邻因干涉而静止的点. 求两波的波长和两波源的最小相位差.,x1点干涉相消,解2,因 x1 和 x2 是两相邻干涉静止的点,当 时 有最小值,波动第三次作业,P221226页 7, 9, 15 计 27,7.6 多普勒效应(Doppler Effect),多普勒J.C.Doppler 18031853,奥地利物理学家及数学家，出生于奥地利的萨尔斯堡 (Salzburg)。

多普勒效应,1842年,他在文章 “On the Colored Light of Double Stars” 中提出了,多普勒效应 波源或观察者或它们二者相对于介质运动时，观察者感觉到的频率和波源的真实频率并不相等，这一现象称为多普勒效应1. 波源静止，观察者静止,观察者接受到的频率 取决于观察者在单位时间内接收到完整波形的数目S,观察者t 时间内接收到的波数为：,频率不变,2. 波源静止，观察者以速度 vR 相对于介质运动,(1) 观察者接近波源,观察者t 时间内接收到的波数为：,vR,频率变高,(2) 观察者离开波源,观察者t 时间内接收到的波数为：,vR,频率变低,3. 观察者静止，波源以速度vs相对媒质运动,(1) 波源接近观察者,观察者单位时间内接收到的波数为：,在每个周期中，波源移近观察者的距离为 ，即每个波长缩短了,频率变高,观察者t时间内接收到的波数为：,(2) 波源离开观察者,在每个周期中，波源离开观察者的距离为 ，即每个波长增加了,频率变低,观察者t时间内接收到的波数为：,观察者单位时间内接收到的波数为：,结论：波源与观察者相互接近时，感觉到的频率较高，反之波源与观察者相互远离时，感觉到的频率较低。

4.观察者和波源同时以速度 相对介质运动,观察者t时间内接收到的波数为：,而,。