2023年初三复习二次函数专题.pdf

优秀教案 欢迎下载 二次函数复习专题 （二）、知识要点 1. 二次函数解析式的几种形式： ①一般式：yaxbxc2（a、b、c 为常数，a≠0） ②顶点式：ya xhk()2（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标 ③交点式：ya xxxx()()12，其中xx12，是抛物线与 x 轴交点的横坐标，即一元二次方程axbxc20 的两个根，且 a≠0，（也叫两根式） 2. 二次函数yaxbxc2的图象 ①二次函数yaxbxc2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果 a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同 ②任意抛物线ya xhk()2可以由抛物线yax2经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示 ③在画yaxbxc2的图象时，可以先配方成ya xhk()2的形式，然后将yax2的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将yaxbxc2配成ya xhk()2的形式， 这样可以确定开口方向， 对称轴及顶点坐标。

然后取图象与 y 轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与 x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与 x 轴只有一个交点或无交点， 那应该在对称轴两侧取对称点， （这两点不是与 y 轴交点及其对称点） ，一般画图象找 5 个点 3. 二次函数的性质 函数 二次函数yaxbxc2 （a、b、c 为常数，a≠0） ya xhk()2（a、 h、 k为常数， a≠0） a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 优秀教案 欢迎下载 图象 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 性 (2)对称轴是 x＝ba2，顶点是（baacba2442，） (2)对称轴是 x＝ba2，顶点是（baacba2442，） (2)对称轴是 x＝h，顶点是（h，k） (2)对称轴是 x＝h， 顶点是（h，k） 质 (3)当xba2时，y 随x 的增大而减小；当xba2时，y 随 x 的增大而增大 (3)当xba2时，y 随x 的增大而增大；当xba2时，y 随 x 的增大而减小 (3)当xh时，y 随 x的增大而减小；当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大。

(3)当 x＜h 时，y 随 x的增大而增大；当 x＞h 时， y 随 x 的增大而减小 (4)抛物线有最低点，当xba2时，y 有最小值，yacba最小值442 (4)抛物线有最高点，当xba2时，y 有最大值，yacba最大值442 (4)抛物线有最低点，当 x＝h 时，y 有最小值yk最小值 (4)抛物线有最高点，当 x＝h 时，y 有最大值yk最大值 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 ①配方法：将解析式yaxbxc2化为ya xhk()2的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线xh，若 a＞0，y 有最小值，当 x＝h 时，yk最小值；若 a＜0，y 有最大值，当 x＝h 时，yk最大值 ②公式法：直接利用顶点坐标公式（baacba2442，），求其顶点；对称轴是直线xba2，若ayxbayacba02442， 有最小值，当时，；最小值若a  0，y 有最大值，当xbayacba2442时，最大值 5. 抛物线与 x 轴交点情况： 对于抛物线yaxbxc a20()≠ ①当bac240时，抛物线与 x 轴有两个交点，反之也成立。

称轴平行于包括重合轴的抛物线几个不同的二次函数如果相同那么抛物示的图象在画的图象时可以配方成的形式然后将的图象上下左右平移得有两个交点就直接取这两个点就行了如果图象与轴只有一个交点或无交优秀教案 欢迎下载 ②当bac240时，抛物线与 x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点 ③当bac240时，抛物线与 x 轴无交点，反之也成立 （三）、考点解读 例 1.已知某二次函数的图象经过点 A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式 分析：设yaxbxc2，其图象经过点 C（0，－5），可得c   5，再由另外两点建立关于ab、的二元一次方程组，解方程组求出 a、b 的值即可 解：设所求二次函数的解析式为yaxbxc2 因为图象过点 C（0，－5），∴c   5 又因为图象经过点 A（－1，－6），B（2，3），故可得到： ababababab     56425312412即解得： ∴所求二次函数的解析式为yxx225 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为yaxbxc2，然后确定 a、b、c 的值即得，本题由 C（0，－5）可先求出 c 的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。

例 2. 已知二次函数yaxbxc2的图象的顶点为 （1，92）， 且经过点（－2， 0） ，求该二次函数的函数关系式 分析：由已知顶点为（1，92），故可设ya x() 1922，再由点（－2，0）确定a 的值即可 解：设ya x() 1922，则 ∵图象过点（－2，0）， ∴021922  a() ∴ayx12121922，∴，() 即：yxx 1242 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设ya xhk()2，再根据其他条件确定 a 的值本题虽然已知条件中已设yaxbxc2，但我们可以不用这种形式而另设ya xhk()2这种形式 因为在yaxbxc2这种形式中， 我们必须求 a、b、c 的值，而在ya xhk()2这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母 a 的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式 例 3.已知二次函数图象的对称轴是x  3，且函数有最大值为 2，图象与 x 轴的一个称轴平行于包括重合轴的抛物线几个不同的二次函数如果相同那么抛物示的图象在画的图象时可以配方成的形式然后将的图象上下左右平移得有两个交点就直接取这两个点就行了如果图象与轴只有一个交点或无交优秀教案 欢迎下载 交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。

分析：依题意，可知顶点坐标为（－3，2），因此，可设解析式为顶点式 解：设这个二次函数的解析式为2y=a(x3)2 ∵图象经过（－1，0）， 20=a( 13)2 ∴a 12 ∴所求这个二次函数的解析式为21y=- (x3)22 即：215y=- x3x-22 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式 例 4. 已知：抛物线在 x 轴上所截线段为 4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式 分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与 x 轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴121x=(xx )2，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式 解：∵顶点坐标为（2，4） ∴对称轴是直线 x＝2 ∵抛物线与 x 轴两交点之间距离为 4 ∴两交点坐标为（0，0），（4，0） 设所求函数的解析式为ya x() 242 ∵图象过（0，0）点 ∴044a，∴a  1 ∴所求函数的解析式为yxx24 例 5. 已知某抛物线是由抛物线yx22经过平移而得到的， 且该抛物线经过点 A （1， 1） ，B（2，4），求其函数关系式。

分析：设所求抛物线的函数关系式为yaxbxc2，则由于它是抛物线yx22经过平移而得到的，故 a＝2，再由已知条件列出 b、c 的二元一次方程组可解本题 解：设所求抛物线的函数关系式为yaxbxc2，则由已知可得 a＝2，又它经过点A（1，1），B（2，4） 故：21824124     bcbcbcbc即解得：bc32 ∴所求抛物线的函数表达式为：yxx2322 说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线yx22的平移关系，得到a 2 例 6. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4m （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式 （2）在正常水位的基础上，当水位上升 h(m)称轴平行于包括重合轴的抛物线几个不同的二次函数如果相同那么抛物示的图象在画的图象时可以配方成的形式然后将的图象上下左右平移得有两个交点就直接取这两个点就行了如果图象与轴只有一个交点或无交优秀教案 欢迎下载 时，桥下水面的宽度为 d(m)，试求出用 d 表示 h 的函数关系式； （3）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？ 分析：（1）拱桥是一个轴对称图形，对称轴为图中 y 轴，因此可知抛物线上一些特殊点坐标，用待定系数法可求解析式。

（2）当水位上升时，抛物线与水面交点在变化，设为（dh24， ）代入抛物线解析式可得 d 与 h 关系式； （3）根据逆向思维可求水面宽度为 18m，即 d＝18 时，水位上升多少米？ 解：（1）设抛物线的解析式为 y＝ax2，且过点（10，－4） ∴ 4101252aa×， 故yx1252 （2）设水位上升 hm 时，水面与抛物线交于点（dh24， ） 则hd 412542× ∴dh10 4 （3）当 d＝18 时，1810 4076hh，. 0762276..  ∴当水深超过 2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行 说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式 本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为 7 的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于 4 例 7. 求抛物线yxx 12322的顶点坐标写出对称轴与坐标轴交点坐标， 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ 解：yxxxx    1232122113222() 12122()x ∴抛物线的顶点坐标是（－1，2），对称轴是直线 x＝－1 令xy032，，∴抛物线与 y 轴交点（0，32） 令yxx  0123202，的解为xx1231， ∴抛物线与 x 轴交于点（－3，0），（1，0） 当x   1时，y 随 x 的增大而增大，当x   1时，y 随 x 的增大而减小。

例 8. 已知抛物线yaxbxc2如图所示，直线x  1是其对称轴 （1）确定 a，b，c，bac24的符号； （2）求证：abc  0 称轴平行于包括重合轴的抛物线几个不同的二次函数如果相同那么抛物示的图象在画的图象时可以配方成的形式然后将的图象上下左右平移得有两个交点就直接取这两个点就行了如果图象与轴只有一个交点或无交优秀教案 欢迎下载 （3）当 x 取何值时，y 0，当 x 取何值时，y 0 分析：（1）由抛物线的开口向下，得a  0 由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，得c  0 由baab2000，，得 由抛物线与 x 轴有两个不同的交点 ∴bac240 （2）由抛物线的顶点在 x 轴上方，对称轴为x  1 ∴当xyabc   10时， （3）由图象可知，当  31x时，y 0 由xxy310或时， 例 9. 如图，半圆的直径 AC＝2，点 B在半圆上，CB不与 CA重合，F在 AC上，且 AE＝BC，EF ⊥AC于 F，设 BC＝x，EF ＝y，求 y 与 x 的函数关系式和自变量的取值范围，并在直角坐标系中画出它的图象。

分析：求几何图形中的函数关系式，通常就是寻求自变量与函数之间的一个等量关系式，可用几何的方法证△AEF∽△ACB得到比例式求出 y 与 x 的函数关系式 解：∵AC是直径，∴∠B＝90° 又 EF ⊥AC，∴∠B＝∠AFE ，∠A＝∠A ∴△AEF ∽△ACB ∴AEACEFBCxyx，即2 ∴yx122 当 B为ABC的中点时，E与 B重合，此时BC  2， ∴自变量 x 的取值范围是02 x，它的图象如图所示 例 10. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000 千克， 购进价格为每千克30 元，物价部门规定其销售单位不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元，市场调查发现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克，在销售过程中，每天还要支出其它费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算），设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元 （1）求 y 与 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围 （2）将（1）中所求出的二次函数配方成ya xbaacba()24422的形式， 写出顶点坐标， 在如图所示的坐标系中画出草图，观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ （3） 若将这种化工原料全部售出， 比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？ 分析：首先明确获利的含义，即每千克获利＝销售单价－购进单价， 其次注意自变量的取值范围由此在画图象时只称轴平行于包括重合轴的抛物线几个不同的二次函数如果相同那么抛物示的图象在画的图象时可以配方成的形式然后将的图象上下左右平移得有两个交点就直接取这两个点就行了如果图象与轴只有一个交点或无交优秀教案 欢迎下载 能是原函数图象的一部分。

在（3）中必须分别计算这两种销售方式的总获利，通过比较大小作答： 解：（1）若销售单价为 x 元，则每千克降低了（70－x）元，日均多售出 2（70－x）千克，日均销售量为[60＋2（70－x）]千克，每千克获利（x－30）元 依题意得：yxx()[()]30 602 70500  2260650030702xxx() （2）由（1）有yxx226065002 26519502()x ∴顶点坐标为（65，1950），其图象如图所示， 经观察可知，当单价为 65 元时，日均获利最多是 1950 元 （3）当日均获利最多时：单价为 65 元，日均销售量为 602 706570()kg 那么获总利为1950700070195000×元，当销售单价最高时：单价为 70 元，日均销售 60kg，将这批化工原料全部售完需700060117≈天，那么获总利为()70307000× 117500221500×元，而221500195000时且22150019500026500元 ∴销售单价最高时获总利最多，且多获利 26500 元 （四）、智能训练 练习四（二次函数） （一）、精心选一选： 1.已知：抛物线yxxc26的最小值为 1，那么 c 的值是（ ） A.10 B.9 C.8 D.7 2.已知二次函数yaxbxc2的图象过点（1，－1），（2，－4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（ ） A.x  3 B.x  1 C.x  1 D.x  3 3.一个二次函数的图象过（－1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（ ） A.yxx222 B.yxx222 C.yxx221 D.yxx222 4.已知函数yaxbxc2的图象如图 1，则此函数的关系式为（ ） A.yxx223B.yxx223 C.yxx223D.yxx223 5.下列命题中，错误的是（ ） A.抛物线yx21不与 x 轴相交 B.函数yxx23的图象关于直线x 38对称 C.抛物线yxyx12112122与()形状相同，位置不同 称轴平行于包括重合轴的抛物线几个不同的二次函数如果相同那么抛物示的图象在画的图象时可以配方成的形式然后将的图象上下左右平移得有两个交点就直接取这两个点就行了如果图象与轴只有一个交点或无交优秀教案 欢迎下载 D.抛物线yxx232经过原点 6.已知函数yaxb的图象经过第一、二、三象限，那么yaxbx21的图象大致为（ ） （二）、细心填一填 7.抛物线 ya xhk2与yax2形状__________，位置__________。

当 a>0 时，抛物线的开口__________；当 a<0 时，开口__________ 8.抛物线 ya xkm2的对称轴是直线__________，顶点坐标是__________ 9.yaxbxc2，配方后可得到 y=__________因此，抛物线yaxbxc2的对称轴是__________，顶点坐标是__________ 10.抛物线yx122向上平移两个单位， 则抛物线的解析式为__________， 它的顶点坐标为__________，它的对称轴方程为__________ 11.抛物线yx 32的图象向右平移 2 个单位，那么抛物线的解析式为__________，顶点为__________，对称轴为__________ 12.如果函数yxxc242的图象过016， ，则 c 的值为__________ 13.如果函数yaxx2416的图象的顶点的横坐标为 1，则 a 的值为__________ 14.把二次函数yxx2310化成 ya xhk2的形式，结果是__________ （三）、用心做一做： 15 根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点（－1，3），（1，3），（2，6） （2）抛物线顶点坐标为（－1，9），并且与 y 轴交于（0，－8） （3）抛物线的对称轴是直线x  1，与x轴的一个交点为（－2，0），与y轴交于点（0，12） （4）图象顶点坐标是（2，－5），且过原点 （5）图象与 x 轴的交点坐标是（－1，0），（－3，0）且函数有最小值－5。

（6）当 x＝2 时，函数的最大值是 1，且图象与 x 轴两个交点之间的距离为 2 16.某商场以每台 2500 元进口一批彩电，如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则少卖出 50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？ 17.某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5m，若行车道总宽度 AB为 6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度称轴平行于包括重合轴的抛物线几个不同的二次函数如果相同那么抛物示的图象在画的图象时可以配方成的形式然后将的图象上下左右平移得有两个交点就直接取这两个点就行了如果图象与轴只有一个交点或无交优秀教案 欢迎下载 是多少米？（精确到 0.1m） 【智能训练答案】 一、精心选一选 1.A2.D3.B4.A5.B6.A 二、细心填一填： 7. 相同，不同，向上，向下8 xkkm ，， 9. a xbaacbaxbabaacba2442244222，，， 10. yxx1220202，（ ， ）， 11.  yx 322， （2，0） ，x  2 12 16。

13. -2 14. y x324942 三、用心做一做 15、（1）yx22 （2）2y17x34x8  （3）yxx323122 （4）yxx5452 （5）2y5x +20x+15 （6）yxx243 16.定价为 3000 元时，可获最大利润 125000 元17.货车限高为 3.2m 称轴平行于包括重合轴的抛物线几个不同的二次函数如果相同那么抛物示的图象在画的图象时可以配方成的形式然后将的图象上下左右平移得有两个交点就直接取这两个点就行了如果图象与轴只有一个交点或无交。