2023年北师版九年级下册直角三角形的边角关系知识点及习题.doc

九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数： 正切：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即; 正弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即; 余弦：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即; 余切：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表达∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.1、三角函数和角的关系 tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。

sinA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，sinA的值越大 cosA的值越小，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，cosA的值越大2、 三角函数之间的关系（1）互为余角的函数之间的关系0º30 º45 º60 º90 ºsinα01cosα10tanα01—cotα—10若∠A为锐角，则①； ②； （2）同角的三角函数的关系※运用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小） 而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小) 而减小(或增大)2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1 1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：tanA·cotA＝1 3)商的关系：tanA＝，cotA＝ 二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2； (2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：(3)边与角之间的关系：(4)面积公式:(hc为C边上的高); (5)直角三角形的内切圆半径(6)直角三角形的外接圆半径图1三、解直角三角形的应用：1、当从低处观测高处的目的时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目的时，视线与水平线所成的锐角称为俯角2、 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。

用字母i表达，即◎从某点的指北方向按顺时针转到目的方向的水平角，叫做方位角如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°图2hi=h:llABC◎指北或指南方向线与目的方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°图3图4 【基础训练】锐角三角函数定义一、填空题1．如图所示，B、B′是∠MAN的AN边上的任意两点，BC⊥AM于C点，B′C′⊥AM于C′点，则△B'AC′∽______，从而，又可得①______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A拟定期，它的______与______的比是一个______值；②______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A拟定期，它的______与______的比也是一个______；③______，即在Rt△ABC中(∠C＝90°)，当∠A拟定期，它的______与______的比还是一个______．第1题图2．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°． 第2题图①＝______， ＝______；②＝______， ＝______；③＝______， ＝______．3．由于对于锐角a 的每一个拟定的值，sina 、cosa 、tana 分别都有____________与它______，所以sina 、cosa 、tana 都是____________．又称为a 的____________．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝1，b＝3，则c＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，若a＝16，c＝30，则b＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinC＝______，cosC＝______，tanC＝______．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则∠B＝______，sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______，sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．二、解答题8．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．9．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．综合、运用、诊断10．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．11．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．12．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．拓展、探究、思考13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，按规定填空：(1)∴______；(2)∴b＝______，c＝______；(3)∴a＝______，b＝______；(4)∴______，______；(5) ∴______，______；(6)∵3，∴______，______．正切：1、在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能拟定 2、已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B. 3、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.正弦和余弦：1．已知△中，，3cosB=2， AC= ，则AB= ．2.在Rt中，，假如，，那么的值是（ ）A. B. C. D.3.在中，，分别是的对边，若，则 ABC4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为 米．5.假如是等腰直角三角形的一个锐角，则的值是（　　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．三角函数值的计算一、填空题1．填表．锐角a30°45°60°sinacosatana二、解答题 2．求下列各式的值． (1) (2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)3．求适合下列条件的锐角a ．(1) (2) (3) (4)综合、运用、诊断4．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周长．5．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ACB的值．6．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求： (1)∠D及∠DBC； (2)tanD及tan∠DBC； (3)请用类似的方法，求tan22.5°．7． 已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求： (1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．8．已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，，求：sin∠CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．拓展、探究、思考9．已知：如图，∠AOB＝90°，AO＝OB，C、D是上的两点，∠AOD＞∠AOC，求证： (1)0＜sin∠AOC＜sin∠AOD＜1；(2)1＞cos∠AOC＞cos∠AOD＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______；(4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．10． 已知：如图，CA⊥AO，E、F是AC上的两点，∠AOF＞∠AOE． (1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE； (2)锐角的正切值随角度的增大而______．11．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：(1)sin2A＋cos2A＝1 (2)解直角三角形（一）一、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的重要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：__________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________。