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大学数学教案:极限概念(limit).ppt

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    • 1.3 1.3 极限概念极限概念(limit(limit) ) 极限概念是微积分的基本概念极限是一种非初等运算,也是微积分学研究的基本工具.后面将要介绍的函数的连续性、导数、积分等重要概念,都是以极限为基础的极限是高等数学中的一种重要的研究方法最新大学数学 极限 极限是以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律,通过极限我们可以深入到函数的局部去了解函数,并且体会如何在运动的过程中把握变化的事物,从而深化对客观世界的认识1.3.1 数列的极限(limit of sequence)数列的定义:最新大学数学 极限 按照一定规律有次序排列的无穷多个数称为数列记作称为通项(一般项) .最新大学数学 极限 数列的极限 数列极限的定义,请同学们回忆一下 中国古代的极限思想:“一尺之椎,日取其半,万世不竭考察当n+时,通项xn的变化趋势数列极限的实质:最新大学数学 极限例如,趋势不定最新大学数学 极限数列数列当项数n无限变大时的极限定义:数列的各项数值向一个常数无限靠近,则称常数为该数列的极限记作或最新大学数学 极限 如果一个数列的极限存在,则称该数列是收敛(converge); 如果一个数列的极限不存在,则称该数列是发散(diverge)。

      最新大学数学 极限常数 0 称为此数列的极限记作:最新大学数学 极限例如,收 敛最新大学数学 极限趋势不定发 散最新大学数学 极限记作:最新大学数学 极限例1. 已知证明证:最新大学数学 极限时,可以无限变小故最新大学数学 极限函数随着自变量的变化而变化,研究函数的极限,就是研究当自变量按照某种方式变化时所对应的1.3.2函数的极限(limit of function)函数值的变化趋势最新大学数学 极限二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容 :最新大学数学 极限1.1. 时,函数f(x)的极限最新大学数学 极限定义:设函数y=f(x)在 x大于某个正数a时有定义,A是某确定常数,如果当自变量x 趋于 时,f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在 时以A为极限,1.1. 时,函数f(x)的极限记为最新大学数学 极限指数函数最新大学数学 极限如最新大学数学 极限例如. 同理:最新大学数学 极限正弦函数最新大学数学 极限余弦函数最新大学数学 极限对数函数最新大学数学 极限最新大学数学 极限2.2.时,函数f(x)的极限最新大学数学 极限定义:设函数y=f(x)在点x0的某空心邻域内有定义,A是某确定常数,如果当自变量x趋近于x0时,f(x)与A的距离任意小,则称函数f(x)在x趋于x0时以A为极限,2.2.时,函数f(x)的极限记为最新大学数学 极限最新大学数学 极限正弦函数最新大学数学 极限余弦函数最新大学数学 极限 可以证明:以下的极限均成立最新大学数学 极限3.单侧极限- 左极限与右极限最新大学数学 极限左极限 :如果当 从的左侧无限趋近时,记着函数f(x)无限趋近于一个确定的常数A, 则称A为函数f(x)当时的左极限。

      记作最新大学数学 极限类似可定义右极限 :函数的左极限和右极限统称为单侧极限最新大学数学 极限对数函数最新大学数学 极限例如:最新大学数学 极限定理1.1:当 时,函数 极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等,即最新大学数学 极限例6. 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解: 利用定理 因为最新大学数学 极限显然所以不存在 .最新大学数学 极限例7 问a为何值时,所给函数x=2处极限存在解:左极限右极限最新大学数学 极限欲函数在x=2处极限存在,必须左极限等于右极限,即a=8最新大学数学 极限思考:1)研究函数极限时,是否要考虑f(x)在x=x0时的性态?为什么?2)若f (x0+0)和f (x0-0)都存在,当x趋于x0时,f(x)的极限存在吗?3)如何利用f (x0+0)和f (x0-0)来判断当x趋于x0 时,f(x)的极限不存在?最新大学数学 极限4)若极限是否一定有?最新大学数学 极限常用的极限结果:最新大学数学 极限极限不存在的有:最新大学数学 极限练习:设求:最新大学数学 极限作业NO.13:(3) 分析 的复合结构.解:由复合而成的.最新大学数学 极限作业NO.13:(4) 分析 的复合结构.解:由复合而成的.最新大学数学 极限NO14. 解:左极限右极限最新大学数学 极限NO18. 设函数解: 最新大学数学 极限。

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