数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴.doc

1数学竞赛讲义——圆幂与根轴一、圆幂的定义：在平面上，从点 作半径为 的圆 的割线，从 起到和该圆周相交为止的两线段之PrOP积是一个定值，称为点 对于此圆周的圆幂.圆幂定理：（1）当 在圆 外时，点 对于此圆的幂等于 ；O2r（2）当 在圆 内时，点 对于此圆的幂等于 ；PPOP（3）当 在圆 上时，规定：点 对于此圆的幂等于 .0二、根轴及其性质1.根轴的定义：对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.2.根轴的性质：（1）若两圆 与 相离（半径分别为 ， 且 ） ，点 为 的中点，点1O21r212rM12O段 上，且 ，则此两圆的根轴是过点 且垂直于 的直线.特H1M21rHOH12别地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段 的中垂线.12（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）.思考：能否从解析几何的角度看根轴？2三、例题例 1 如图，设 和 分别是 的内心和外心， 和 分别是 的内切圆和IOABCrRABC外接圆的半径，过 作 的外接圆的弦 .IAK求证：（1） ；K（2） ；2AIRr（3） .（欧拉公式）例 2 如图，设圆 与圆 相离，引它们的一条外公切线切圆 于 ，切圆 于 ，1O2 1OA2B又引它们的一条内公切线切圆 于 ，切圆 于 ，1OC2D求证：（1） ；（2）直线 是分别以 ， 为直径的圆 ，ACBDABC3的根轴；（3）直线 和 的交点 在两圆的连心线 上 .4OK12O例2EKO2DBO1CA例1KOIB CA3例 3（1997 年全国联赛）已知两个半径不相等的 与 相交于 ， 两点，且1OA2MN， 分别与 内切于 ， 两点， ， ， 三点共线，求证：1OA2OASTSNT.MN四、练习题1.点 ， 为 的边 ， 上的点，分别DEABCA以 ， 为直径的圆 与 交于点 ， .1O2MN求证： 的垂心 在直线 上.H1. MNO21AB CD E例3MNO1 O2S T42. （第 36 届 IMO）设 、 、 、 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别ABCD以 ， 为直径的圆 ， 交于点 ， ，直线 交 于点 .若 为直线ACBD1O2XYBCZP上异于 的一点，直线 与交圆 于点 及 ，直线 与交圆 于点XYZP1M2O及 .N求证：（1） ， ， ， 四点共圆；BMC（2） ， ， ， 四点共圆；AD（3） ， ， 共点.XY3. （第 40 届 IMO 国家队选拔题）凸四边形 的四边满足 ，ABCDABDC圆 分别与凸四边形 的 ， 两边相切于 ， 两点，与对角线 相OABCDGH交于 ， 两点.求证：存在另一个过 ， 两点，且分别与 ， 的延长线相EFEF切的圆 .'2.ZNMYXO2O1A DBCP3.B DACOGHEF4。