二元函数的极值与最值解读.doc

二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下：1．二元函数的无条件极值(1)二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定2)二元函数取得极值的必要条件：设在点处可微分且在点处有极值，那么，，即是驻点3) 二元函数取得极值的充分条件：设在的某个领域有连续上二阶偏导数，且，令，，，那么当且 A<0时，f为极大值；当且A>0，f为极小值；时，不是极值点注意： 当B2－AC = 0时，函数z = f(x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例1 求函数z = x3 + y2 －2xy的极值．【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值.【解】先求函数的一、二阶偏导数：，．, , ．再求函数的驻点．令= 0，= 0，得方程组求得驻点(0，0)、．利用定理2对驻点进展讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =－2，C = 2，B2－AC0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点．(2)对驻点，由于A =4, B =－2，C = 2,B2－AC =－40, 且A0,那么 为函数的一个极小值．例2：〔2004数学一〕设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.【分析】 此题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比拟大的。

这表达了考研的根本要求解】 因为 ，所以，.令 得 故 将上式代入，可得 或 由于 ，，所以 ，，，故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由，，，可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.【评注】 此题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程2．二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设某领域有连续偏导数，引入辅助函数解联立方程组得可能是在条件下的极值点例3经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小．并求此最小体积．【分析】条件极值经常考应用题这一点大家应引起重视解】设所求平面方程为．因为平面过点，所以该点坐标满足此平面方程，即有． (1)设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 那么． (2)原问题化为求目标函数〔2〕在约束条件〔1〕下的最小值．作拉格朗日函数．求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：由此方程组和〔9〕解得a = b = c = 3．由于最小体积一定存在．又函数有惟一的驻点．故a = b = c = 3为所求．即平面x + y + z = 3．与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小．最小体积为例4某公司通过电台与报纸两种方式做销售广告，收入万元与电视广告费万元与报纸广告费万元之间的关系为：．⑴在广告费用不限的情况下，求最正确广告策略；⑵假设提供的广告费用为总额1．5万元，求相应最正确广告策略．【解】⑴利润函数为，求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：解得，．那么为惟一的驻点．又由题意，可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处到达．所以最大利润为万元．因此，当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利润为万元，此即为最正确广告策略．⑵求广告费用为1．5万元的条件下的最正确广告策略，即为在约束条件下， 求的最大值．作拉格朗日函数．求函数的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：并和条件联立解得，．这是惟一的驻点，又由题意，一定存在最大值，故万元为最大值．【评注】 此题也可由，解得，代入目标函数转换成一元函数求解。

3．二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点与边界点取得例5:〔2007数学一〕求函数在区域D上的最大值和最小值，其中： 分析】 由于D为闭区域，在开区域按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可详解】 因为 ，，解方程： 得开区域的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为比拟函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.【评注】当，代入目标函数转换成一元函数求解更简单例3:〔2005数学二〕函数z=f(x,y) 的全微分，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.【解】 由题设，知 ，，于是 ，且 ，从而 ，再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 〔下略〕 / 。