构建新数列巧解递推数列竞赛题.doc

1 -构建新数列巧解递推数列竞赛题梁新潮（浙江新昌中学 312500）石美英（浙江新昌教师进修学校 312500）递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的其中，怎样构造新数列是答题关键1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想例 1、数列中，， na11annnaaa241411611na（1981 年第 22 届 IMO 预选题）分析 本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建na241新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形 nbnnab241解：构建新数列，使 nb0241nnab则 ， ，即51bnnab24122412n nba    nnnbbb 24141161 24122 1- 2 -化简得 22 132nnbb，即 321nnbb32131nnbb数列 是以 2 为首项，为公比的等比数列。

3nb21即 nnnb  21 22123322n nb121122231232 241nnn n nba2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式例 2、设， ，求证：10a12 111nn naaaNn22nna（1990 年匈牙利数学奥林匹克试题）分析 利用待证的不等式中含有及递推关系式中含有这两2 11na个信息，考虑进行三角代换，构建新数列，使，化简递推关 nnntga系式证明：易知，构建新数列，使，0na nnntga 2, 0n则 2sincos111111112 nnnnn ntgtgtga  ，21n ntgtg21n n又 ， ，从而 10a8121tga81- 3 -因此，新数列是以为首项，为公比的等比数列 n8 21212821  nnn考虑到当时，有 。

)2, 0(xxtgx 所以，2222nnntga注：对型如 ，，都可采用三角代换21nana111 1nnnn aaaa 3 证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决例 3、设数列满足，  na11annnaaa1 211)(Nn求证： N an  2221,nNn（《中学数学教学参考》2001 年第 8 期第 53 页，高中数学竞赛模拟试题）分析 直接令，转化为证明 222nnabNbn) 1,(nNn证明：构建新数列，令 nb0 222 nnab则 ，2422nnba242 12 1 nnba- 4 -代入 整理得22 11 21     nnnaaa222 124nnnbbb从而 2 12 1224nnnbbb)3( n于是 22 12 12 122 1122424nnnnnnbbbbbb)3( n122 11nnnbbb)3( n由已知，，，由上式可知，，，依次类推，42b243bNb 4Nb 5，即。

Nbn) 1( nN an  222例 4、设 r 为正整数，定义数列如下： ， na11a求证：2) 1(221nnnaar n n)(NnNan（1992 年中国台北数学奥林匹克试题）分析 把条件变形为比较与 前的系r nnnnaan2 11221nana数及与 的足码，考虑到另一项为，等式两边同乘以，1nanarn2121n容易想到构新数列，使 nbnnannb1证明：由已知得r nnnnaan2 112212 112121 r nnnannann构建新数列， nbnnannb1则，21b12 112 r nnnbb1111nkkknbbbb- 5 -1212123212rrrnNbn11121212)(2nkrrr nknknb 1122 122122 1221 1212122nkrr rr rr rrrknCknCknCnnnbn又  nkrrnknkrr nknkknkb112121112121)1(  nkrr rr rr rrknCknCknCn122 122122 1221 12121111| 1nnb| ，从而 。

1nnnbNan4 解决整除问题一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明例 5、设数列满足，，对一切，有 na11a32aNn，求所有被 11 整除的的一切 n 值nnnanana2312na（1990 年巴尔干地区数学奥林匹克试题）分析 变形递推关系式为，就容易想到怎nnnnaanaa1122样构建新数列了解：由已知nnnnaanaa1122构建新数列   ,2nbnnnnaab111n- 6 -则， 22b nnnnbnaanb11112n!311221nbnnbnnnbbnnn2n nknkknknnnkbaaaa12211!1从而，，，当时，由于3114a4203118a3670831110a11n被 11 整除，因而也被 11 整除 101!kk nkknkka11101!!所以，所求 n 值为，8，及的一切自然数。

4n10n5 证明是完全平方数这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项，问题na也就迎刃而解了例 6、设数列和满足，，且 na nb10a00b  47836711nnnnnn babbaa, 2 , 1 , 0n求证：是完全平方数na（2000 年全国高中联赛加试题）分析 先用代入法消去和，得，如果等nb1nb061412nnnaaa式中没有常数项 6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令，aaCnn易求得21a证明：由①式得， 代入②得nb1nb061412nnnaaa①②- 7 -化为021 21142112   nnnaaa构建新数列，，且， nc21nnac210c27 21367210011baac01412nnnccc由特征方程 得两根01142，34713472所以 nn nmmc2211当，1 时，有0n  21347347212121mmmm解得：4121 mm则 nnnc3474134741nn2232413241则 2 323241 21 nnnnca因为 为正偶数，所以，是完全平方数。

 nn3232na从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在 8 -。