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量子力学教程量子力学教程 (第二版第二版)第1章波函数与波函数与SchrSchrödingerdinger方程方程量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程( )1E hν=,h pλ=并称之为物质波并称之为物质波.νE与动量为与动量为和能量为和能量为的粒子相应的波的波长的粒子相应的波的波长 和频率和频率为为pλ1.1.1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性0m ≠在在Planck-Einstein的光量子论（光具有的光量子论（光具有波粒二波粒二 象性象性）的启发下，面对）的启发下，面对Bohr的原子的量子论取得的的原子的量子论取得的 成功和碰到的困难，成功和碰到的困难，de Broglie(1923)提出了实物粒提出了实物粒 子（静质量子（静质量的粒子，例如电子），也具有波的粒子，例如电子），也具有波 粒二象性粒二象性（wave-particle duality）的假设的假设.即即量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现为了更好地理解微观粒子在双缝干涉中呈现的量子特征，先对比一下用经典粒子（例如子的量子特征，先对比一下用经典粒子（例如子弹）与经典波（例如声波）来做类似的双缝实验弹）与经典波（例如声波）来做类似的双缝实验的结果的结果。

粒子的双缝干涉是最直观地展现粒子的双缝干涉是最直观地展现 波粒二象性的实验波粒二象性的实验,也是量子力学中也是量子力学中 最难理解的现象最难理解的现象.We can not explain how it works; We will just tell you how it works.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程1.3(a)图图中，一挺机枪从远处向靶子进行点射，机枪与中，一挺机枪从远处向靶子进行点射，机枪与 靶子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条缝靶子之间有一堵子弹不能穿透的墙，墙上有两条缝.当当 只开缝只开缝时，靶子上子弹的密度分布为时，靶子上子弹的密度分布为.( )1.3 a( )1xρ1量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程当双缝齐开时，经过缝当双缝齐开时，经过缝的子弹与经过缝的子弹与经过缝的子的子 弹，各不相干地一粒一粒地达到靶上，所以靶上子弹，各不相干地一粒一粒地达到靶上，所以靶上子 弹密度的分布简单地等于两个密度和弹密度的分布简单地等于两个密度和21( )( )( )1212xxxρρρ=+子弹经过缝子弹经过缝的运动轨道的运动轨道, 与缝与缝存在与否，存在与否， 并无关系并无关系.( )1 2( )2 1( )2xρ2当只开缝当只开缝时时,靶上子弹的密度分布为靶上子弹的密度分布为；；结论结论量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程1.3(b)图图给出声波的双缝干涉图像给出声波的双缝干涉图像. 表示一个具有表示一个具有 稳定频率稳定频率的声源的声源,声波经过一个具有双缝的隔音板声波经过一个具有双缝的隔音板, 在它后面有一个“吸音板”在它后面有一个“吸音板”,到达板上的声波将被吸到达板上的声波将被吸 收收,并把声波强度分布表示出来并把声波强度分布表示出来.( )1.3 bS ν量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程1212III≠+当只开缝当只开缝时，显示出声波强度分布用时，显示出声波强度分布用描述描述.当当 只开缝只开缝时时,强度分布用强度分布用描述描述.当双缝齐开时，当双缝齐开时， 强度分布用强度分布用描述描述.1( )1Ix( )2Ix2 ( )12IxBA当只开一条缝时声音很强的地方（例如当只开一条缝时声音很强的地方（例如点和点和 点）点）,在双缝齐开时在双缝齐开时,声音可能变得很弱声音可能变得很弱.实验表明实验表明原因是由于出现了声波的干涉现象原因是由于出现了声波的干涉现象.下面通过对其干涉项的研究下面通过对其干涉项的研究,来具体找出经典来具体找出经典 和量子的区别和量子的区别!量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程( )( )( )( )( )( )22121221h xhxh x hxhx hx∗∗=+++( )( )( )21212Ixhxhx=+( )( )( )( )1212IxIxIxIx=++≠+干涉项( )2由于干涉项的影响，经典波的强度分布与经典粒由于干涉项的影响，经典波的强度分布与经典粒 子的密度分布大不相同子的密度分布大不相同.( )i2π 2ethxν设分别打开缝设分别打开缝 和缝和缝时的声波用时的声波用和和描述，双缝齐开时的声音则用描述，双缝齐开时的声音则用 描述描述，因此声波强度分布，因此声波强度分布 为为1( )i2π 1ethxν2( )( )i2π 12ethxhxν+ 波的相干叠加性波的相干叠加性量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程人们可以设想，如在图人们可以设想，如在图所示实验中，用所示实验中，用 分子束来代替声波，则观测到的双缝干涉图像应分子束来代替声波，则观测到的双缝干涉图像应 该没有什么差异该没有什么差异.但此时波的强度是代表被测到的但此时波的强度是代表被测到的60C 分子的计数 单位时间( )1.3 b60C人们应如何理解在干涉实验中人们应如何理解在干涉实验中 分子所展现出的这种波粒二象分子所展现出的这种波粒二象 性呢性呢？60C量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一人们对物质粒子波动性的理解，曾经经历过一 场激烈的争论，包括波动力学创始人场激烈的争论，包括波动力学创始人Schrödinger, de Broglie等在内的一些人，对于物质粒子波动性等在内的一些人，对于物质粒子波动性 的见解，都曾经深受经典概念的影响，他们曾经把的见解，都曾经深受经典概念的影响，他们曾经把 电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空 间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与间中连续分布的某种物质波包，因而呈现出干涉与 衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群衍射等现象，波包的大小即电子的大小，波包的群 速度即电子的运动速度速度即电子的运动速度.1.1.2 波粒二象性的分析波粒二象性的分析量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程( )522dd0ddgvkkmω==≠2= k2mω()=2kλπ( )3稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难。

稍加分析，这种看法就碰到了难以克服的困难 例如，在例如，在非相对论情况非相对论情况下，自由粒子能量下，自由粒子能量 利用利用de Broglie关系，可得关系，可得2E= p2mddgvkk mp mvω====( )4所以波包的群速度（见附录所以波包的群速度（见附录）为）为A1即经典例子的速度即经典例子的速度.但由于但由于依赖于依赖于gvk量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程自由粒子的物质波包必然要扩散自由粒子的物质波包必然要扩散,即使原来的波包即使原来的波包 很窄很窄,在经历一段时间后在经历一段时间后,也会扩散到很大的空间中也会扩散到很大的空间中 去去;或者形象地说或者形象地说,随时间的推移随时间的推移,粒子将越来越粒子将越来越 “胖”“胖”.这与实验是矛盾的这与实验是矛盾的.物质波包的观点显然夸大了波动性一面物质波包的观点显然夸大了波动性一面,而实际而实际 上抹杀了粒子性的一面上抹杀了粒子性的一面,是带有片面性的是带有片面性的与物质波相反的另一种看法是与物质波相反的另一种看法是:波动性是由于大波动性是由于大 量电子分布于空间形成的疏密波量电子分布于空间形成的疏密波.它类似于空气它类似于空气 振动出现的纵波振动出现的纵波,即由于分子密度疏密相间而形即由于分子密度疏密相间而形 成的一种分布成的一种分布.这种看法也与实验矛盾这种看法也与实验矛盾.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程实际上可以通过做这样的电子衍射实验实际上可以通过做这样的电子衍射实验,让入射让入射 电子流极其微弱电子流极其微弱.电子几乎一个一个地通过仪器电子几乎一个一个地通过仪器.但但 只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样只要时间足够长，底片上仍将出现衍射花样.这表明这表明 电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时电子的波动性并不是很多电子在空间聚集在一起时 才呈现的现象才呈现的现象.单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性.事实上事实上,正是正是 由于由于单个电子具有单个电子具有波动性波动性,才能理解氢原子（只含一才能理解氢原子（只含一 个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这 样一些量子现象样一些量子现象.因此因此,把波动性看成大量电子分布于空间所形成把波动性看成大量电子分布于空间所形成 的疏密波的看法也是不正确的的疏密波的看法也是不正确的,它夸大了粒子性的一它夸大了粒子性的一 面面,而实际上抹杀了粒子波动性一面而实际上抹杀了粒子波动性一面,也带有片面性也带有片面性.量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？然而电子究竟是什么东西？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子“电子既不是粒子,也不是波”也不是波”.更确切地说更确切地说,它既不是它既不是 经典例子经典例子,也不是经典的波也不是经典的波.我们也可以说我们也可以说,电子既是粒电子既是粒 子子,也是波也是波,它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一它是粒子性和波动性两重性矛盾的统一.但但 这个波不再是经典概念下的波这个波不再是经典概念下的波,粒子也不是经典概念粒子也不是经典概念 中的粒子中的粒子.在经典概念下在经典概念下,粒子与波的确是难以统一到同一客体粒子与波的确是难以统一到同一客体 上去上去然而究竟应该怎样理解波然而究竟应该怎样理解波 粒二象性呢？粒二象性呢？量子力学教程量子力学教程(第二版第二版)1.1 波波 函函 数数 与与Schrödinger 方方 程程把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把 微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统 一起来的一起来的是是M.Born(1926)提出的概率波提出的概率波.仔细分析一下实验可以看出，仔细分析一下实验可以看出，电子所呈现的粒电子所呈现的粒 子性，只是经典粒子概念中的“原子性”子性，只是经典粒子概念中的“原子性”或“颗粒或“颗粒 型”，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体型”，即总是以具有一定质量和电荷等属性的客体 出现在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道”的出现在实验中，但并不与“粒子有确切的轨道”的 概念有必然的联系概念有必然的联系.而而电子呈现的波动性，也只不过电子呈现的波动性，也只不过 是波动最本质的东西是波动最本质的东西——波的相干叠加性，波的相干叠加性，但并不但并不 一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起一定与某种。