高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选修23.ppt

2.3.2　离散型随机变量的方差第二章　§2.3　离散型随机变量的均值与方差学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下：知识点一　方差、标准差的定义及方差的性质思考思考1　　试求E(X)，E(Y).思考思考2　能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？思考思考3　试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？答案　答案　不能，因为E(X)＝E(Y).答案　答案　方差.梳理　梳理　(1)方差及标准差的定义设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn①方差：D(X)＝ ；②标准差： .(2)方差与标准差的意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差 ，则随机变量偏离于均值的平均程度 .(3)方差的性质：D(aX＋b)＝ .越小越小a2D(X)知识点二　两点分布与二项分布的方差XX服从两点分布X～B(n，p)D(X) (其中p为成功概率)__________p(1－p)np(1－p)1.离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.(　　)2.若a是常数，则D(a)＝0.(　　)3.离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度.(　　)×√[思考辨析 判断正误]√题型探究(1)求X2的分布列；例例1　　已知X的分布列如下：类型一　求随机变量的方差与标准差解答(2)计算X的方差；解答(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.解　解　因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.解答反反思思与与感感悟悟　　方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X).(1)求方差及标准差；跟踪训练跟踪训练1　　已知η的分布列为解答(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y).解　解　∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.解答例例2　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为解答类型二　两点分布与二项分布的方差(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.解答解　解　记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，反反思思与与感感悟悟　　解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p).跟踪训练跟踪训练2　某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；解答解解　　用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.解答解　解　用X表示抽得的正品数，则X～B(10,0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，例例3　　为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；类型三　方差的实际应用解答(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.解答反反思思与与感感悟悟　　(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论.(2)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值偏离于均值的平均程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断.跟跟踪踪训训练练3　　甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为解答ξ0123P0.30.30.20.2η012P0.10.50.4试评定两个保护区的管理水平.达标检测1.已知随机变量X的分布列为√√答案解析12345答案2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较√√12345答案解析3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于√√123454.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.答案解析12345解答5.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ).123451.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差D(X)或标准差 越小，则随机变量取值偏离均值的平均程度越小；方差D(X)或标准差 越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散.2.求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值.(2)求X取每一个值的概率.规律与方法(3)写出随机变量X的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).。