实数的完备性.docx

第七章实数的完备性§7.1实数完备性的基本定理一、问题提出定理1.1 （确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.确界存在定理（定理1.1）揭示了实数的连续性和实数的完备性.与之等价的还有五大命题, 这就是以下的定理1.2至定理1.6.定理1.2 （单调有界定理）任何单调有界数列必定收敛.定理1.3 （区间套定理） 设如］｝为一区间套：1［"札］=）言心&+1 ］,也= 1,2,…，尸皿（bn~an ） = 0则存在唯一一点,丘【％也］/ = 1’ ％定理1.4 （有限覆盖定理）设"）｝是闭区间言档】的一个无限开覆盖，即言档］ 中每一点都含于丑中至少一个开区间（理点）内.则在丑中必存在有限个开区间，它们构成言』. 的一个有限开覆盖.定理1.5 （聚点定理）直线上的任一有界无限点集S至少有一个聚点六即在普的任意小邻 域内都含有中无限多个点（普本身可以属于牙，也可以不属于"定理1・6（柯西准则）数列3提收敛的充要条件是：5，京eN,只要*、恒 有1^-^1<^.（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基 本列.）这些定理构成极限理论的基础.我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会 怎样用它们去证明别的命题.下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具.下图中有三种不同的箭头,其含义如下：（1）〜（3）基本要求类阅读参考类⑻〜（10）习题作业类二、回顾确界原理的证明我们曾引入有界数集的确界概念，今证明它的存在性（记号。

b、c表示实数）Dedekind 定理设A/B是R的一个切割，则比存在实数法R使得A =（-吓I B =（8, +8）或A = （—8,8） , B = [8, +8）无其它可能.1非空有上界的数集E必存在上确界.证明设E = ｛对非空,有上界b : Vx g E , x < b.（1） 若E中有最大数％，则％即为上确界；（2） 若E中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E的一切上界归入上类 B，其余的实数归入下类A，则（A I B）是实数的一个分划.1 A、B不空.首先b g B .其次Vx g E，由于x不是E的最大数，所以它不是E的上界,即 x g A .这说明E中任一元素都属于下类A ；2 A、B不漏性由A、B定义即可看出；3 A、B不乱.设a g A,b g B .因a不是E的上界,士 g E，使得a < x ,而E内每一元素属于 A，所以 a < x < b .4的证明可见A无最大数.所以（A 1 B）是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B必有最小数，记作c.Vx g E ,由1知x g A，即得x < c.这表明c是E的一个上界.若b是E的一个上界，则b g B ,由 此得c < b，所以c是上界中最小的，由上确界定义,c为集合E的上确界，记作c = su^ .推论非空的有下界的集合必有下确界.事实上，设集合E = ｛对有下界b，则非空集合E，= ｛n f e E｝有上界-b，利用集合E，上确界 的存在性,即可得出集合E的下确界存在.定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们 所研究的某一类量（如弧长）的存在性.若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的.定理1刻划了实数 集是完备的.例1证明实数空间满足阿基米德原理.证明 Vb >a > 0，要证存在自然数"使na > b .假设结论不成立，即na < b, （n = 1，2,…），则数集E = ｛na｝有上界b ,因此有上确界c，使na < c （n = 1，2，…），也就有 （n +1）a < c （n = I，2,…），或 na < c - a （n = 1，2，...）.这表明c — a是集合E的上界,与c是上确 界矛盾.所以总存在自然数n，使na > b .三、等价命题证明下面来完成（1）〜（7 ）的证明.（一）用确界定理证明单调有界定理设｛七｝单调上升，即气< % < %3 <…<% <…,有上界，即3 M，使得七< M .n nr I ATI a = sup X考虑集合E = ｛Xn 1 n e N｝，它非空，有界，定理2推出它有上确界，记为 二n .我们验证a = lim xn .n T8 .Ve > 0,由上确界的性质，3 N，使得a f < XN，当n > N时，由序列单调上升得a — e < Xn再由上确界定义,Xn < a < a +£，有a —£< Xn < a +£，即<£lim x，也就是说n*，=a = supxnneNlim ^X =inf ^X同理可证若｛Xn｝单倜下降,有下界，也存在极限，且…n neN n若集合E无上界，记作sup E = +8 ；若集合E无下界，记作inf E = +8，这样一来，定理2证明了（ ] sup x （inf x ）的单调上升（下降）有上界（下界）的序列｛Xn｝,必有极限二n xeN n的定理现在有了严格的 理论基础了.且对单调上升（下降）序列｛Xn｝,总有limx = s u pc （inX ）n —+8 xeN xeN .（二）用单调有界定理证明区间套定理由假设（1）知，序列｛气｝单调上升,有上界b 1 ；序列｛bn｝单调下降,有下界a 1 .因而有再由假设（2）记 c1 = c2 = clim a = cn T+3 n 1lim b = cnT+3 n 2从而有lim (bJn T+8lim an T+8=c = lim bnn T+8若还有c *满足an < c * < b，令n T+8，得c * = c .故c是一切［an，妇的唯一公共点.证毕.这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：（1）要求［an，bn ］是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的，则定理不一定成立.,气）二（0, n）f (0，1 J u (0, 1)显然有 n +1 nH (0, 1) Mn=1 n如果开区间套是严格包含：an< an+1 < b+1

七< c < %，都有 〃=1 〃 ".全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集，则称该全序集是完备的，定理3刻划实lim a = cn T+3 n 1数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）.定理3也给出通过逐步缩小搜索范围,找出所求点的一种方法.推论设｛［%总］｝为一区间套,先山总云=L乙….则矿我曜兴现当就顷时,恒用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论.例2 序列｛七｝由下列各式X = "n 1 + *n 2x = a x = b n 2 （n = 3, 4, , , ,）lim x 所确定（见下图）.证明极限n»8 n存在,并求此极限.x x~证明当a = b时，xlim x一"，故 nT+8，当a丰b时,若取an= min(xn〜x〃) b - max(x+1,x ), (n -1, 2，…)则由条件，显然可得一串区间套:(n = 1, 2，…)[a , b ] u [a , b ]n+1 n+1由已知条件x 一 xn+1 n=—1( x — x )2 n n—1于是—a =I x12 n —1—x In — 12 n —1J 土 1 xn —1 一 xn—2 1I b — a It 0 (n — +8)，由区间套定理，存在c满足:lim a=c = lim b x 弓[a b ] lim x = cn.汪意到xn E [an，，所以n…〃nT+8x - x卜面来求c.由n+1 n—x )n-1 ,令n = 2,3，…，k — 1得一串等式:x —x = —1( x —x )k k—1 2 k—1 k—2将它们相加，得七x—1(x —x ) c —x =— 1(c-x )2 2 k —1 1，令 k T +8，得 2 2 1所以c = - x +— x =- (a + 2b)31323（三）用区间套定理证明确界原理证明思想：构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界.设E 0,有上界、取叼我令［"如］=［知*］； /加+加），再令JSi^iL若门是s的上界， 叼JM1L若门不是£的上界；如此无限进行下去，得一区间套KD n"日勤，知' 以=1, L…可证寻』:因K恒为£的上界，且鬼为叩，故VkS,必有X< bn => X < T|这说明。