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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟544一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 下列曲线中有渐近线的是 A．y=x+sinx． B．y=x2+sinx． C． D． 答案:C[解析] 对于，可知．又，所以有斜渐近线y=x，因此应选C．问题:2. 曲线的渐近线有______A.1条水平的，1条斜的，1条铅直的．B.2条水平的，没有斜的，1条铅直的．C.没有水平的，2条斜的，1条铅直的．D.1条水平的，1条斜的，没有铅直的．答案:C[解析] 因， 所以有1条斜渐近线y=2x+1(沿x→+∞方向)． 又 所以又有1条斜渐近线y=x+1(沿x→-∞方向)． 综上，曲线左右各有一条斜渐近线，所以就没有水平渐近线． 又 所以有1条铅直渐近线．选C． 问题:3. 若A，A*和B均是n阶非零矩阵，且AB=0，则必有r(B)=A.1．B.2．C.n-1．D.条件不够不能确定．答案:A[解析] A，B是n阶矩阵，且AB=O，则有 (1)B的列向量是齐次方程组Ax=0的解 (2)秩r(A)+r(B)≤n 由(1)，对于AB=O，B≠O知Ax=0有非零解，从而秩r(A)＜n．又因A*≠O知有代数余子式Aij≠0，即A中有n-1阶子式非零．于是r(A)=n-1．再根据(2)知r(B)≤1，又因B≠O．故必有r(B)=1．故应选A． 关于r(A)也可由 可知r(A*)=1． 因为A*≠0，有r(A*)≥1，于是r(A)≥n-1，那么再由AB=O，B≠O知r(A)＜n，因此只能是r(A)=n-1．故r(B)=1，应选A． 问题:4. 设函数f(u，v)满足，则依次是 A． B． C． D． 答案:D[解析] 解法1 先求出f(u，v)． 于是 因此 解法2 不必先求出f(u，v)． 由即(u，v)=(1，1)对应， 现对两边分别对x，y求偏导数得 上两式中令得 由此解出．选D． 问题:5. 双纽线(x2+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为______ A． B． C． D． 答案:A问题:6. 设是3阶可逆矩阵，B是3阶矩阵，满足则B有特征值______A.1，-1，-4．B.1，1，4．C.1，2，-2．D.1，2，2．答案:C[解析] 由题设条件得 A是可逆矩阵，故有即 相似矩阵有相同的特征值，故C和B有相同的特征值． 因为故B有特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=-2，故应选C． 或由两边取行列式，得|BA|=|AC|，故应选C．问题:7. 设A是任-n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于______A.kA*．B.kn-1A*．C.knA*．D.k-1A*．答案:B问题:8. 设函数f(u，v)满足，已知，则 A． B． C． D．0 答案:B[解析] 令u=x2，u-1-x，则．又由于 故 二、填空题问题:1. 交换积分次序：答案:[解析] 由题意，积分区域可表示为 即是由r=2cosθ与围成的图形(如下图)．作以O为圆心且穿过D的同心圆r=C，当时，r=C从r=2cosθ(θ＜0)，即进入D，从穿出D；当时，r=C从r=2cosθ(θ＜0)，即进入D，从r=2cosθ(θ＞0)，即穿出D．故原二次积分交换积分次序后为 问题:2. 已知函数f(x)连续，且，则f(0)=______．答案:2．[解析] 因为函数f(x)连续，故．由题设 故f(0)=2． 问题:3.答案:[解析]问题:4.答案:[解析]问题:5. 对数螺线ρ=eθ在点处的切线的直角坐标方程为______．答案:问题:6. 设f(x)连续，则 答案:xf(x2)．[解析] 令u=x2-t2，du=-2tdt．当t=0时，u=x2，当t=x时，u=0．故 本题属于要先作换元然后才能求导的类型． 三、解答题本题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．求下列方程所确定函数的全微分：1. f(x+y，y+z，z+x)=0，求dz；答案:解： 于是 2. z=f(xz，z-y)，求dz．答案:解： 于是 问题:3. 设计算二重积分 答案:解：D是一块矩形域，如图所示． 问题:4. 设一旋转抛物面的容器内盛有高为H的液体，把另一同轴的旋转抛物面体沿旋转轴方向压入(不进水)盛水的上述容器内，浸没深度为h，问抛物面的容器内液面上升多少?答案:解：设旋转抛物面的容器和旋转抛物面体分别由xOy平面上的抛物线y1=Ax2，y2=Bx2+a绕y轴旋转而成． 如图所示，设V1为抛物面容器中的液体被第二个抛物面体所排开的体积，则 设被挤上升的液体体积为V2，则 由V1=V2，得 因为h+a＞0，则 故液面上升高度为 若f(x)=3x2+64x-3．5. 在(0，+∞)内作y=f(x)的图形；答案:解：考察(0，+∞)内的函数特性． 因为f'(x)=6x-192x-4=6x(1-32x-5)， 由f'(x)=6x-192x-4=0，得唯一驻点x1=2． 又f"(x)=6+768x-5＞0，曲线为下凸， x1=2为极小值点，极小值为f(2)=20． 因为所以f(x)在(0，+∞)内有垂直渐近线x=0． 因为所以f(x)在(0，+∞)内没有斜渐近线． 由以上分析，得下图． 6. 证明：3x5-20x3+64≥0．答案:证明：由于f(x)=3x2+64x-3在(0，+∞)上连续且有唯一极值点x=2，且所以x=2也是f(x)=3x2+64x-3在(0，+∞)内的最小值点，最小值为f(2)=20． 所以，f(x)=3x2+64x-3≥20，即3x5-20x3+64≥0问题:7. 求微分方程y"+y=f(x)满足初始条件：y(0)=0，y'(0)=1的特解，其中连续函数f(x)满足条件。

答案:解：由于，则题设条件可表示为 在两边对x求导，得； 再在两边对x求导，整理可得f"(x)+f(x)=-sinx，且f(0)=0，f'(0)=1 解上述方程组得可见原方程为 故对应齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx，C1，C2为任意常数，且特解可设为y*=x(b1x+b2)cosx+x(b3x+b4)sinx，代入方程后得再根据初始条件 y(0)=0，y'(0)=1得所求解为[考点] 在初始条件下，二阶微分方程的解的应用问题:8. 设矩阵A=，B=． 试判断A和B是否相似，若相似，求出可逆矩阵X，使得X-1AX=B． 答案:解：由∣λE-A∣==(λ-2)(λ-1)(λ+1)， 得A的特征值为2，1，-1．因此A相似于． 进而求得对应于2，1，-1的特征向量分别为 令P=(η1，η2)，η3)，则有P-1AP=． 又因为B是下三角矩阵，所以特征值为2，1，-1．B也相似于． 进而求得对应2，1，-1的特征向量分别为． 令Q=(ξ1，ξ2，ξ3)，则Q-1BQ=． 因此P-1AP=Q-1BQ，所以B=QP-1APQ-1=(PQ-1)-1A(PQ-1)， 令X=PQ-1=，X即为所求．[考点] 矩阵相似的判别． 将A，B分别相似对角化，与同一个对角阵相似，再根据相似的传递性，得到A，B相似． 设二次型的矩阵合同于9. 求常数a的值；答案:解：令，则f(x1，x2，x3)=XTAX. 因为A与合同，所以r(A)=2＜3，故|A|=0． 由 10. 用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形．答案:解：由得λ1=0，λ2=4，λ3=9． 由(0E-A)X=0得 由(4E-A)X=0得 由(9E-A)X=0得 单位化得 令 则 设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶实对称矩阵，C为m×n矩阵．11. 计算PTDP，其中，Em，En分别为m阶，n阶单位矩阵；答案:解：因，有 12. 利用上小题的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并说明理由．答案:解：矩阵B-CTA-1C是正定矩阵． 事实上，由|P|=1知矩阵P可逆，由上小题的结果可知，矩阵D合同于矩阵 又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵． 直接验算知B-CTA-1C为对称矩阵． 对x=(0，0，…，0)T及任意的y=(y1，y2，…，yn)T≠0，有 故B-CTA-1C为正定矩阵．[考点] 本题主要考查分块矩阵的运算以及正定矩阵的判定．第一问直接利用分块矩阵的运算法则进行计算；第二问是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义． 问题:13. 设b＞0，求x0∈(0，b)，使得由曲线过点的曲线的切线以及直线x=b和y轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V最小．答案:解：曲线在点的切线方程是 即 其中t∈(0，b)． 所求问题等价于求此切线与直线x=b，y轴和x轴所围成平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积的最小值点．即求 在(0，b)的最小值点． 求V'(t) 因此，所求的。