高等数学：11-7斯托克斯公式.ppt

二、环流量与旋度 斯托克斯公式 第7节一、斯托克斯公式三、向量微分算子 目录 上页 下页 返回 结束 一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理7.1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, (斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数, 的侧与 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一证:情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).则有上页 下页 返回 结束 则(利用格林公式) 上页 下页 返回 结束 因此同理可证三式相加, 即得斯托克斯公式 上页 下页 返回 结束 情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕上页 下页 返回 结束 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:上页 下页 返回 结束 例1. 利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个解: 记三角形域为, 取上侧, 则边界, 方向如图所示. 利用对称性上页 下页 返回 结束 例2. 为柱面与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦上页 下页 返回 结束 二、 环流量与旋度（课本249页）斯托克斯公式设曲面 的法向量为 曲线 的单位切向量为则斯托克斯公式可写为 上页 下页 返回 结束 令 , 引进一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 的称为向量场A定义: 沿有向闭曲线 的环流量.或于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度 .上页 下页 返回 结束 设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点, 建立坐标系如图,则角速度为 ,点 M 的线速度(P20,例3.5)为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:上页 下页 返回 结束 向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量 注意 与 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 的环流量斯托克斯公式的物理意义例3. 求电场强度 的旋度 .解: (除原点外)这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.上页 下页 返回 结束 的外法向量,计算解: 例4. 设上页 下页 返回 结束 三、向量微分算子（251页）定义向量微分算子:它又称为( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. 则上页 下页 返回 结束 则高斯公式与斯托克斯公式可写成:上页 下页 返回 结束 小 结1. 斯托克斯公式上页 下页 返回 结束 2. 场论中的三个重要概念设 梯度:上页 下页 返回 结束 散度:旋度:则作 业P237 A类： 1 (1)(3) ; 2; B类：1P254 A类：11(2)(4); 13(1); 14上页 下页 返回 结束 。