人教版高中数学必修4三角函数.doc

任意角一、知识概述1、角的分类：正角、负角、零角.2、象限角：（1）象限角.　　　　　 （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）.3、终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角，连同α角自身在内，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边相同．4、准确区分几种角　　锐角：0°<α<90°；　　0°～90°：0°≤α<90°；　　第一象限角：．5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角（1 rad）.　　1 rad=，1°=rad.6、弧长公式：l=αR.7、扇形面积公式：.二、例题讲解例1、写出下列终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来：（1）60°；（2）－21°；（3）363°14′．解：　　 （1） ，　　S中满足的元素是　　　　（2） ，　　S中满足的元素是　　　　（3） ，　　S中满足的元素是　　例2、写出终边在y轴上的角的集合.解析：　　　　∴.注：　　终边在x轴非负半轴：.　　终边在x轴上：.　　终边在y=x上：.　　终边在坐标轴上：.　　变式：角α与β的终边关于x轴对称，则β=_______.　　答案：.　　角α与β的终边关于y轴对称，则β=_______.答案：任意角的三角函数一、知识概述1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=.　　注：①对于确定的角α，其终边上取点，令，则.　　②α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置.2、公式一：，　　，　　，其中.3、三角函数线　　角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，则sinα=MP(正弦线)，cosα=OM（余弦线）.过A作单位圆的切线，则α的终边或其反向延长线交此切线于点T，则tanα=AT（正切线）.　　注：若，则.二、例题讲解例1、已知角α的终边上一点，且，求的值．解：　　，　　∴，.　　当时，，∴；　　当时，，∴；　　当时，，∴．例2、化简下列各式　　（1）；　　（2）．解：　　（1）　　　　（2）　　 同角三角函数的基本关系一、知识概述1、平方关系：．2、商数关系：．二、例题讲解例1、已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα．解：　　∵，，∴.　　∴，即有，　　又∵为非零实数，∴为象限角．　　当在第一、四象限时，即有，　　从而，　　；　　当在第二、三象限时，即有，　　从而，　　．例2、已知，试确定使等式成立的角α的集合．例3、已知，求sinx，cosx的值．解：　　由等式两边平方：　　．　　∴，即，　　∴为一元二次方程的两个根，　　解得．　　又∵，∴．因此．例4、化简：.解法一：　　原式=　　　　.解法二：　　原式=.解法三：　　原式=.例5、已知，则（1）____________________．(2)____________________．(3)____________________．解：　　（1）；　　（2）；　　 三角函数的诱导公式一、知识概述诱导公式一：.诱导公式二：.诱导公式三：，，．诱导公式四：，，.诱导公式五：，．诱导公式六：，．引申：诱导公式七：，．诱导公式八：，．记忆公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”．二、例题讲解例1、化简：（1）；（2）（3）．（4）（5）．解：　　（1）原式．　　（2）原式=.　　　　　　（5）例2、已知求的值．解：　　由得，所以　　例3、已知则________．解：　　．正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）一、知识概述1、正弦函数、余弦函数的图象2、性质：①定义域：x∈R　　②值域：[－1，1]　　③周期性：都是周期函数，且最小正周期为.二、例题讲解例1、作函数的简图．　　（2）描点连线（图象见视频）.例2、求下列函数的周期　　（1）；（2）；（3）；（4）．解：　　（1）令，则.　　∵f(x＋T)=f(x)恒成立，.　　∴周期为4.　　注：.　　（2）.　　注：.　　（3）T=π．　　（4）T=．假设，使令x=0，得，，与时矛盾．　　∴T=.例3、求下列函数的定义域：　　（1）； (2) y=lg(2sinx＋1)＋．解：　　（1），∴，∴．　　(2) ，∴.　　∴其定义域为.正弦函数与余弦函数的图象与性质（二）一、知识概述1、图象（见视频）2、性质：（1）定义域：都为R.　　　　（2）值域：都为[－1，1].　　　　（3）周期性：都是周期函数，且T=2π.　　　　（4）奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数.　　　　（5）对称性：y=sinx的对称中心为(kπ，0)（k∈Z），对称轴为.　　　　　　y=cosx的对称中心为，对称轴为.　　　　（6）单调性：y=sinx在上单调递增；在上单调递减.　　　　　　y=cosx在上单调递减；在上单调递增.二、例题讲解例1、在中，，若函数y=f(x)在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是（　）A．　　　　　　　　B．C．　　　　　　　　D．解：　　∵，∴，.　　所以．答案：C例2、求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）；（3）；（4）y=－|sin（x＋）|解：　　（1）法一：图象法（图象见视频）.　　法二：令，　　∴.　　所以，函数单调递增区间为．　　（2）令，∴，　　所以，函数单调递增区间是．　　（3）令.　　所以，函数单调递增区间是.　　法二：∵，　　令，，　　所以，函数的递增区间是．　　（4）函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）．（图象见视频）　　法二：　　令.　　解得.　　∴函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.正切函数的图象与性质一、知识概述1、图象： 2、性质：　　（1）定义域：；　　（2）值域：R；　　（3）周期性：；　　（4）奇偶性：奇函数；　　（5）对称性：y=tanx的对称中心为.　　（6）单调性：在内单调递增．二、例题讲解例1、求下列函数的定义域：　　（1）；（2）；（3）．解：　　（1）由，得，∴．　　∴的定义域为．　　（2）令，∵sinx∈[－1，1]且，　　∴定义域为R.　　（3）由已知，得，∴，　　∴原函数的定义域为（备注：视频中区间书写有误，后面一个应该是半开半闭区间）．例2、求函数的定义域，周期和单调区间．函数y=Asin（ωx＋φ）的图象一、知识概述的图象可由y=sinx的图象经过以下的变换得到：①将y=sinx的图象向左（右）平移个单位得到的图象；②将的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长（缩短）到原来的倍，得到的图象；③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍，得到的图象.A表示振幅，为周期，为频率，为初相，为相位.二、例题讲解例1、函数的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．解：　　①将的图象向左平移个单位，得到的图象；　　②将的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象；　　③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到的图象．　　变式1：y=sinx的图象由的图象经过怎样的变换得到.解：　　横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得到的图象；再将的图象向右平移个单位，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sinx的图象.　　变式2：函数y=f(x)的图象先向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象，求f(x)的解析式.答案：.例2、已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．解：　　由图知：函数最大值为，最小值为，　　又∵，∴，　　由图知，　　∴，∴，　　法一：∴，∴，　　∴.　　　　，代入上面两式检验，得满足条件.　　∴．　　法二：.　　.　　法三：令，.三角函数模型的简单应用例1、已知电流在一个周期内的图象如图：（1）根据图中数据求的解析式．（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？例2、某港口水的深度y（米）是时间，单位：时）的函数，记作，下面是某日水深的数据：t时03691215182124y米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0　　经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象．　　（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；　　（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？解：　　（1）由已知数据，易知函数的周期T=12，振幅A=3，b=10，（视频板书中应为f(t)）．　　（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5=11.5米，　　，解得:　　，在同一天内，取.　　∴该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时．例3、如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时：　　（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；　　（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．解：　　（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立直角坐标系，在t秒内摩天轮转过的角为，∴此人相对于地面的高度为（米）．　　（2）令，则，　　，，　　故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．例4、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．　　（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式；　　（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数．三角函数的综合应用例1、求下列函数的值域：　　（1）；（2）；（3）；　　（4）；（5）．解：　　（1）∵，　　∴，∴，　　所以，值域为．　　（2）.　　.　　另解：，∴，∴，　　解得，．　　（3），　　，.　　（4）由题意，　　∴，　　∵，∴时。