HPM视域下的数学课堂教学设计.pdf

HPM 视域下的数学课堂教学设计———以勾股定理的教学为例数科院 09（2）庄健超09211241 一、 HPM 研究的意义HPM（ History and Pedagogy of Mathematics ）意指数学史与数学教育之间的联系，它作为一个学术领域的出现始于1972 年HPM 研究的目标是通过数学历史的运用，提高数学教育的水平 HPM 关注的内容包括：数学与其他学科的关系、多元文化的数学、数学史与学生的认知发展、发生教学法、数学史与学生的困难、数学原始文本在教学中的应用等数学史是介于文理科之间的边缘学科要打破自然学科与社会学科多年的鸿沟，数学史将发挥它的中介作用，在两者之间架起一座桥梁作为一名数学教师掌握数学史知识后，不仅本人受益， 更重要的是可以结合数学教学，在适当的时候传授给学生，帮助学生领会数学的精神、思想和方法，形成各种独特的创造性思维模式，这也符合当今的课改精神数学史与数学教育相结合不仅对培养学生坚持实事求是精神、改善教师的教学技巧有着不可估量的作用，同时这也是人文科学教育，是目前科学教育的重要组成部分二、 HPM 视域下“勾股定理”的课堂教学设计案例1、勾股定理的定义：在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。

（即勾的平方加股的平方等于弦的平方）2、勾股定理的由来我国古代劳动人民通过长期测量发现：当直角三角形短的直角边（勾）是3，长的直角边（股）是4 的时候，斜边（弦）正好是5，满足： a^2+b^2=c^2 ，这是一个特例以后又通过长期的实践测量，发现只要是直角三角形，它的三边都有这个关系我国称它为勾股定理，又叫商高定理． 勾股定理在西方称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家哲学家毕达哥拉斯于公元前550 年首先发现的我国最早的一部数学著作《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问： “我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子一段一段的丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形的一条直角边‘勾’等于 3，另一条直角边‘股’等于4 的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5这个原理是大禹治水的时候就总结出来的到了公元前540 年，希腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是3、 4、5，或者是 5、12、13 的时候，有这么个关系：a^2+b^2=c^2 他想：是不是所有直角三角形的三边都符合这个规律？反过来，三边符合这个规律的，是不是直角三角形？他搜集了许多例子，结果都对这两个问题作了肯定的回答。

他高兴非常，杀了一百头牛来祝贺以后， 西方人就将这个定理称为毕达哥拉斯定理3、勾股定理的别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理在公元前1000 多年，据记载，商高（约公元前1120 年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五两矩共长二十有五，是谓积矩”因此，勾股定理在中国又称“商高定理” 在公元前7 至 6 世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾， 日高为股， 勾、股各乘并开方除之得邪至日”在法国和比利， 勾股定理又叫 “驴桥定理”还有的国家称勾股定理为“平方定理”在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理” 。

4、勾股定理的作用及历史地位我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：“禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果另外，在现实生活中勾股定理在数学、工程技术、测量上也有着广泛的应用勾股定理在人类文明史上有重要的地位有人设想， 把勾股定理的图形与内容发射到外星球去， 如果外星球上有高级智慧动物，一定会向地球作出反馈信息，以此作为与外星人交流的“语言”由此可见它在人类文明史中的地位. 5、勾股定理的无穷魅力勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来， 人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统 也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人， 才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证1940 年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367 种不同的证明方法实际上还不止于此，有资料表明， 关于勾股定理的证明方法已有500 余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

这是任何定理无法比拟的在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名充分展现了这个定理的无穷魅力6、勾股定理几个经典证明证法 1： （赵爽证明）以 a、b 为直角边（b>a）， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于 ab/2. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状 . ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于c2. bac GDACBFEHababccABCDE∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90o. ∴ EFGH 是一个边长为 b―a的正方形，它的面积等于2ab. ∴22 214cabab .∴222cba. 证法 2： （课本上的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等 . 即abcabba214214222 ， 整理得222cba。

证法 3： （1876 年美国总统 Garfield 证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三 角形的面积等于ab/2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三 点在一条直线上 . ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于2 21c . 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC.∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2 21ba .∴22 2121221cabba .babab abacbacbacbacbacbacba∴222cba. 证法 4： （利用相似三角形性质证明） 如图，在 RtΔABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作 CD⊥AB，垂足是 D. 在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o， ∠CAD = ∠BAC， ∴ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB，即ABADAC2. 同理可证， ΔCDB ∽ ΔACB，从而有ABBDBC2. ∴222ABABDBADBCAC，即222cba. 证法 5： （辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b， 斜边的长为 c. 作边长是 a+b的正 方形 ABCD . 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分， 则正方形 ABCD的面积为abbaba2222；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为22 214cabba =22cab.∴22222cababba, ∴222cba. 三、 HPM 视域下“勾股定理”的课堂教学设计方案【概述】本教学设计依据华东师大版实验教材八年级上册相关教学内容，设计了《勾股定理》第１课时的教学活动。

教学设想】本节课是对勾股定理进行探索，在探索过程中引入信息技术作为认知工具，培养学生猜测、动手实验以及说理的能力，发展学生的合作交流能力和数学表达能力、解决问题的能力，并且要求学生学会及时对自己的猜测进行验证教学目标】ABDCacbab21ab21ab21ab212c2b2aAADDBBCCbababababaccc cbaababbaba1. 知识与技能：了解勾股定理的文化背景，掌握直角三角形三边之间的数量关系，并能运用勾股定理解决一些实际问题2.过程与方法：通过动手操作，探索并发现直角三角形三边数量关系；经历小组协作讨论，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力；并感受勾股定理的应用意识3.情感态度与价值观：通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，严谨的数学学习的态度，体会勾股定理的应用价值教学重点 ：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用教学难点 ：理解勾股定理的推导过程教学关键 ：通过网格拼图的办法来探索勾股定理的证明过程，理解其内涵学情分析】1.认知起点：已掌握直角三角形基本概念与性质（含等腰直角三角形）。

2.知识线索：3.学习方式：采用观察、合作探究、交流的方式理解领会本节课内容4.工具技能：学生掌握学习机数学画板的基本操作教学策略】采用启发、引导式教学法、合作探讨法、演示法教学资源】多媒体投影、视频展台、手持式网络学习机、PPT 课件、几何画板课件教学过程】环节一：创设情境，激趣引入1、你听过“勾股定理”吗？(1)3000 年前 ,我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》书中记载有“勾广三，股修四，径隅五 ”这作为勾股定理特例的出现2)勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理2、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家相传在2500 年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性1）现在请你也观察一下，你能有什么发现吗？（2）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？（3）你有新的结论吗？学生自己画图，并观察图片，分组交流讨论师生行为：教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。

学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法阐述自己发现的结论设计意图：①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高③鼓励学生用语免得数学活动的困难，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法并通过方法的反思，获得解决问题的经验活动中教师重点关注：①学生能否将实际问题（地砖图形在三个正方形围成的一个直角三角形）转化成数学问题（探索直。