高考数学一轮复习课时作业(十三)　变化率与导数、导数的计算 (3).pdf

1 / 4 课时作业(十三) 变化率与导数、导数的计算 基础过关组 一、单项选择题 1已知 f(x)ln x2x，则 f12( ) A2ln 2 B2ln 2 C2ln 2 D2ln 2 解析 依题意有 f(x)1x 2x212(2x) 12 ln x2x，故 f122ln 212ln 2故选 D 答案 D 2函数 f(x)2xln x 的图象在 x1 处的切线方程为( ) Axy10 Bxy10 C2xy10 D2xy10 解析 当 x1 时，f(1)202，所以切点为(1，2)，由题意得 f(x)21x，所以f(1)2111，所以切线方程为 y21(x1)，即 xy10故选 A 答案 A 3如果曲线 yx4x 在点 P 处的切线垂直于直线 y13x，那么点 P 的坐标为( ) A(1,0) B(0，1) C(0,1) D(1,0) 解析 设点 P(a，b)，则 ba4a，由题得 y4x31因为曲线 yx4x在点 P处的切线垂直于直线 y13x，所以 4a313，所以 a1所以 b1410，所以点 P 的坐标为(1,0) 答案 A 4已知函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)x22xf(1)，则函数 f(x)的解析式为( ) Af(x)x24x Bf(x)x24x Cf(x)x22x Df(x)x22x 解析 由题意，得 f(x)2x2f(1)，则 f(1)22f(1)，解得 f(1)2，故 f(x)x24x。

故选 A 答案 A 5已知 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)xx2，则函数图象在 x1 处的切线方程是( ) A2xy10 Bx2y20 C2xy10 Dx2y20 解析 当 x0，所以 f(x)xx2f(x)，所以 f(x)xx2(x0，解得 a0故选 A 答案 A 二、多项选择题 7下列函数分别求导，其中正确的是( ) A1x1x2 B(cos 2x)2sin 2x 2 / 4 C3xln 33x D(lg x)1xln 10 解析 1x1x2，(cos 2x)2sin 2x，3xln 33x，(lg x)1xln 10故选 BC 答案 BC 8(2021 潍坊期末)给出定义：若函数 f(x)在 D 上可导，即 f(x)存在，且导函数 f(x)在 D 上也可导，则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数，记 f(x)(f(x)，若 f(x)0 在 D 上恒成立，则称f(x)在 D 上为凸函数以下四个函数在0，2上是凸函数的是( ) Af(x)sin xcos x Bf(x)ln x2x Cf(x)x32x1 Df(x)xex 解析 对于 A，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x，因为 x0，2，所以 f(x)0，f(x)在0，2上是凸函数，故 A 正确；对于 B，f(x)1x2，f(x)1x20，故 f(x)在0，2上是凸函数，故 B 正确；对于 C，f(x)3x22，f(x)6x0，故 f(x)在0，2上是凸函数，故 C正确；对于 D，f(x)(x1)ex，f(x)(x2)ex0，故 f(x)在0，2上不是凸函数，故 D 错误。

故选 ABC 答案 ABC 三、填空题 9(2020 全国卷)设函数 f(x)exxa若 f(1)e4，则 a_ 解析 由于 f(x)ex(xa)ex(xa)2，故 f(1)ea(1a)2e4，解得 a1 答案 1 10曲线 y(ax1)ex(e 为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线与 x 轴交于点12，0 ，则 a_ 解析 yex(ax1a)，所以 y|x01a，则曲线 y(ax1)ex在(0,1)处的切线方程为 y(1a)x1，又切线与 x 轴的交点为12，0 ，所以 0(1a)121，解得 a1 答案 1 11(2021 开封市一模)设 P 为函数 f(x)ln xx3的图象上任意一点，Q 为直线 2xy20 上任意一点，则 P，Q 两点距离的最小值为_ 解析 由题意知，当函数 f(x)的图象在点 P(x0，y0)处的切线 l1与直线 l2：2xy20 平行，且PQl2时，P，Q 两点之间的距离最小因为 f(x)ln xx3，所以 f(x)1x3x2，所以1x03x202，解得 x01，所以 y01，故切线 l1的方程为 2xy10由两平行直线之间的距离公式可得切线 l1与直线 l2之间的距离 d|1(2)|555，故 P，Q 两点距离的最小值为55。

答案 55 四、解答题 12已知函数 f(x)x34x2 及其图象上一点 M(1，1) (1)若直线 l1与函数 f(x)的图象相切于点 M(1，1)，求直线 l1的方程； (2)若函数 f(x)的图象的切线 l2经过点 M(1，1)，但 M不是切点，求直线 l2的方程 解 (1)f(x)3x24，f(1)1， 所以直线 l1的斜率 k11， 所以直线 l1的方程为 y1(x1)，即 xy0 (2)设切点坐标为(x0，f(x0)，x01， 则切线 l2的方程为 yf(x0)f(x0)(xx0) 因为直线 l2经过点 M(1，1)， 所以1f(x0)f(x0)(1x0)， 其中 f(x0)x304x02，f(x0)3x204， 于是1(x304x02)(3x204) (1x0)， 整理得 2x303x2010，即(x01)2 (2x01)0， 3 / 4 又 x01，所以 x012 所以切点为12，318，直线 l2的斜率 k2f12134， 所以直线 l2的方程为 y318134x12， 即 y134x94 13已知函数 f(x)ln x1x (1)求曲线 yf(x)在点(1，1)处的切线方程； (2)若函数 g(x)xf(x)1，直线 l1：yax2e(e 是自然对数的底数)与函数 g(x)的图象在点 xe处的切线 l2互相垂直，求直线 l1，l2与 x 轴围成的封闭图形的面积。

解 (1)由题意，知 f(x)1x1x2， 所以 f(1)2，所以切线方程为 y12(x1)， 即 2xy30 (2)由已知，得 g(x)xln x，切点坐标为(e，e)， 由 g(x)ln x1，得 g(e)2， 所以 l2的方程为 ye2(xe)， 即 y2xe 所以直线 l1的斜率为12， 故 l1的方程为 y12x2e ， 联立，得直线 l1与 l2交点的坐标为65e，75e ， 又 l2与 x 轴的交点为e2，0 ，l1与 x 轴的交点为(4e,0)， 此封闭图形为三角形，底边 m4ee27e2，高 h75e， 所以三角形面积 S12mh127e275e4920e2 素养提升组 14(新情境题)通常用以下方法求函数 yf(x)g(x)的导数：先两边同时取以 e 为底的对数(e2.718 28为自然对数的底数)得 ln yg(x)ln f(x)，再两边同时求导，得1y yg(x)ln f(x)g(x)ln f(x)，即 yf(x)g(x)g(x) ln f(x)g(x)ln f(x)运用此方法求出的函数 yx 1x (x0)的一个单调递增区间是( ) A(e,4) B(3,6) C(0，e) D(2,3) 解析 由已知得 yx 1x 1x2ln x1x1xx 1x 1ln xx2(x0)，令 y0，得 1ln x0，解得0 x0)。

(1)试判断 f(x)与 g(x)的大小关系； (2)试判断曲线 yf(x)和 yg(x)是否存在公切线？若存在，求出公切线的方程；若不存在，说明理由 解 (1)设 F(x)f(x)g(x)，x0， 则 F(x)1x3x2(x0) 由 F(x)0，得 x3，当 0 x3 时， F(x)3 时，F(x)0 ， 故 F(x)在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，)上单调递增 所以 F(x)的最小值 F(3)ln 310， 所以 F(x)0，即 f(x)g(x) 4 / 4 (2)假设曲线 yf(x)与 yg(x)有公切线，切点分别为 P(x0，ln x0)和 Qx1，23x1 因为 f(x)1x，g(x)3x2， 所以分别以 P(x0，ln x0)和 Qx1，23x1为切点的切线方程为 yxx0ln x01，y3x21x26x1 令 1x03x21，ln x0126x1，得 2ln x16x1(3ln 3)0 令 h(x)2ln x6x(3ln 3)， 所以 h(x)2x6x2(x0)， 令 h(x)0，得 x3 显然，当 0 x3 时，h(x)3 时，h(x)0， 所以 h(x)在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，)上单调递增， 所以 h(x)的最小值 h(3)2ln 323ln 3ln 310，所以 h(x)0， 所以方程 2ln x16x1(3ln 3)0 无解， 所以曲线 yf(x)与曲线 yg(x)不存在公切线。