高考数学一轮复习第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件.pdf

1 / 12 第第 2 节节 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 考试要求 1.理解命题的概念，了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义. 知 识 梳 理 1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q的充分条件，q 是 p的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq且 q p p 是 q 的必要不充分条件 p q且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 p q且 q p 常用结论与微点提醒 1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论. 2 / 12 2.区别 A 是 B 的充分不必要条件(AB 且 B A)，与 A 的充分不必要条件是B(BA且 A B)两者的不同. 3.A是 B的充分不必要条件綈 B是綈 A的充分不必要条件. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)“x22x31 是a1b的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若“ab1”，当 a2，b1时，不能得到“a1b”， 若“a1b”，例如当 a1，b1时，不能得到“ab1”， 故“ab1”是“a1b”的既不充分也不必要条件. 答案 D 3.(老教材选修 21P2 例 1 改编)下面有 4个命题：集合 N 中最小的数是 1；若a 不属于 N，则 a 属于 N；若 aN，bN，则 ab 的最小值为 2；x212x 的解可表示为1，1.其中真命题的个数为_. 解析 为假命题，集合 N 中最小的数是 0；为假命题，如 a12不满足；为假命题，如 a0，b1，ab1，比 2 小；为假命题，所给集合中的元素3 / 12 不满足互异性. 答案 0 4.(2017 北京卷)能够说明“设 a，b，c 是任意实数.若 abc，则 abc”是假命题的一组整数 a，b，c 的值依次为_. 解析 abc，取 a2，b4，c5， 则 ab6a 是 q：2x3 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是_. 解析 由已知，可得x|2xa，a2. 答案 (，2 6.(2020 青岛二中检测)直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点的充要条件是_. 解析 直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点等价于|10k|2 2，解得1k3. 答案 1k1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21” B.“若 am2bm2，则 a4x0成立 D.“若 sin 12，则 6”是真命题 (2)(2018 北京卷)能说明“若 f(x)f(0)对任意的 x(0，2都成立，则 f(x)在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_. 解析 (1)对于选项 A，“若 a1，则 a21”的否命题是“若 a1，则 a21”，A错； 4 / 12 对于 B 项，若“am2bm2，则 ab”的逆命题为“若 ab，则 am23x，C错； 对于 D 项，原命题的逆否命题为“若 6，则 sin 12”是真命题，故原命题是真命题. (2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为0，2的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且 f(x)minf(0). 答案 (1)D (2)f(x)sin x，x0，2(答案不唯一 ，再如 f(x)0，x0，1x，0B是 sin Asin B的充要条件 D.命题“若anan120，则 xa；命题 q：若 ma2，则 mBabsin Asin B. D 错，若an递减，则 an1ananan12a，则 x0，它是真命题时，a0.命题 q的逆否命题是：若 msin x，则 ma2 恒成立，它是真命题时 a21，解得 a0，b0，则“ab4”是“ab4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件 p：x1或 xx2，则綈 p 是綈 q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)当 a0，b0 时，得 4ab2 ab，即 ab4，充分性成立；当 a4，b1 时，满足 ab4，但 ab54，不满足 ab4，必要性不成立，故“ab4”是“ab4”的充分不必要条件. (2)由 5x6x2，得 2x3，即 q：2x3. 所以 qp，pq，所以綈 p綈 q，綈 q綈 p， 所以綈 p 是綈 q的充分不必要条件，故选 A. 答案 (1)A (2)A 规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据 pq，qp 进行判断. (2)集合法：根据使 p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. 【训练 2】 (1)(2019 天津卷)设 xR，则“x25x0”是“|x1|1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)“a0”是“函数 f(x)sin x1xa为奇函数”的_条件. 6 / 12 解析 (1)由“x25x0”可得“0 x5”；由“|x1|1”可得“0 x2”.由 0 x5/ 0 x2；但 0 x20 x5，所以“x25x0”是“|x1|10或1m2，1m10， m9，又因为 S为非空集合， 所以 1m1m，解得 m0， 综上，实数 m的取值范围是9，). 规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【训练 3】 (2020 湖南雅礼中学月考)若关于 x 的不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 x4，则实数 a的取值范围是( ) A.(，1 B.(，1) C.(3，) D.3，) 解析 |x1|a1ax1a，因为不等式|x1|a 成立的充分条件是 0 xb，a，b，cR，则下列命题为真命题的是( ) A.ac2bc2 B.ab1 C.acbc D.a2b2 解析 对于选项 A，ab，若 c0，则 ac2bc2，故 A 错；对于选项 B，ab，若 a0，b0，则abb，则 acbc，故 C 正确；对于选项 D，ab，若 a，b均小于 0，则 a2b，则 ac2bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( ) A.0 个 B.1 个 C.2个 D.4个 9 / 12 解析 原命题：若 c0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设 a，b，cR，若“ac2bc2，则 ab”.由 ac2bc2知 c20，由不等式的基本性质得 ab，逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，真命题共有 2 个. 答案 C 6.已知命题 p：x22x30；命题 q：xa，且綈 q的一个充分不必要条件是 綈 p，则 a 的取值范围是( ) A.1，) B.(，1 C.1，) D.(，3 解析 由 x22x30，得 x3 或 x1，由綈 q 的一个充分不必要条件是綈p，可知綈 p是綈 q的充分不必要条件，等价于 q是 p的充分不必要条件.故 a1. 答案 A 7.(2018 浙江卷)已知平面 ，直线 m，n 满足 m，n，则“mn”是“m”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若 m，n，mn，由线面平行的判定定理知 m.若 m，m，n，不一定推出 mn，直线 m 与 n 可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件. 答案 A 8.下列结论错误的是( ) A.命题“若 x23x40，则 x4”的逆否命题为“若 x4，则 x23x40” B.“x4”是“x23x40”的充分条件 C.命题“若 m0，则方程 x2xm0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2n20，则 m0 且 n0”的否命题是“若 m2n20，则 m0或 n0” 解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2xm0 有实根，则 m0”.若方程有10 / 12 实根，则 14m0， 即 m14，不能推出 m0.所以不是真命题. 答案 C 二、填空题 9.(2017 北京卷改编)设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 mn”是“m n0”的_条件. 解析 存在负数 ，使得 mn，则 m nn n|n|20；反之 m n|m|n|cosm，n0cosm，n0m，n2， ，当m，n2， 时，m，n 不共线.故“存在负数 ，使得 mn”是“m nb，则 a2b2”的否命题；“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；“若 x24，则2x2”的逆否命题. 其中真命题的序号是_. 解析 原命题的否命题为“若 ab，则 a2b2”，错误；原命题的逆命题为“若 x，y 互为相反数，则 xy0”，正确；原命题的逆否命题为“若x2 或 x2，则 x24”，正确. 答案 11.已知不等式|xm|1 成立的充分不必要条件是13x12，则 m 的取值范围是_. 解析 解不等式|xm|1，得 m1x2S5d0，所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件. 答案 C 14.(2020 合肥模拟)已知偶函数 f(x)在0，)上单调递增，则对实数 a，b，“a|b|”是“f(a)f(b)”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(|x|). 又 yf(x)在0，)上单调递增， 若 a|b|，则 f(a)f(|b|)f(b)，即充分性成立； 若 f(a)f(b)，则等价为 f(|a|)f(|b|)，即|a|b|， 即 a|b|或 a|b|”是“f(a)f(b)”的充分不必要条件. 答案 A 15.已知 p：实数 m 满足 3am0)，q：方程x2m1y22m1 表示焦点在 y轴上的椭圆，若 p 是 q的充分条件，则 a的取值范围是_. 解析 由 2mm10，得 1m32，即 q：1m32.因为 p 是 q 的充分条件，所以3a1，4a32，解得13a38. 12 / 12 答案 13，38 16.(2019 华南师大附中月考)设 p：ln(2x1)0，q：(xa)x(a1)0，若 q是 p 的必要而不充分条件，则实数 a的取值范围是_. 解析 p 对应的集合 Ax|yln(2x1)0 x|12b，则1ab，则1a1b为真命题，则1a1bbaabb，ba0.故当 a0，bb，则1a0，b0) 。