高考数学一轮复习课时作业(二十七)　正弦定理和余弦定理.pdf

1 / 8 课时作业(二十七) 正弦定理和余弦定理 1在ABC中，若 A3 ，B4 ，BC3 2 ，则 AC( ) A32 B 3 C2 3 D4 5 C 由正弦定理得：BCsin A ACsin B ， 即有 ACBC sin Bsin A 3 2sin 4sin 3 2 3 . 2在ABC中，c 3 ，b1，B6 ，则ABC 的形状为( ) A等腰直角三角形 B直角三角形 C.等边三角形 D等腰三角形或直角三角形 D 根据余弦定理有 b2a2c22ac cos B，即 1a233a，解得 a1或 a2.当 a1 时，三角形 ABC 为等腰三角形，当 a2 时，三角形 ABC为直角三角形 3在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bc，a22b2(1sin A)，则A 等于( ) A34 B3 C4 D6 C 由余弦定理得 a2b2c22bc cos A2b22b2cos A， 所以 2b2(1sin A)2b2(1cos A)， 所以 sin Acos A， 即 tan A1，又 0A， 所以 A4 . 4ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 B120，sin C217 ，c2，则ABC 的面积等于( ) A32 B2 3 C34 D 3 2 / 8 A 由正弦定理bsin B csin C ，得 bc sin Bsin C 232217 7 .由余弦定理 b2a2c22ac cos B，得 7a242a，解得 a1 或 a3(舍去)，所以 SABC12 ac sin B12 1232 32 ，故选 A 5(多选)(2020 即墨期中)在ABC 中， 内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a sin A4b sin B，ac 5 (a2b2c2)，则下列选项正确的是( ) Aa2b Bcos A55 Csin B55 DABC 为钝角三角形 ACD 由asin A bsin B ，得 a sin Bb sin A， 又 a sin A4b sin B，得 4b sin Ba sin A 两式作比得a4b ba 所以 a2b，故 A正确 由 ac 5 (a2b2c2)，得 b2c2a255 ac. 由余弦定理，得 cos Ab2c2a22bc 55ac2bc 510 ab 510 2bb 55 ， 故 B 错误 由于 cos A0，可得 A 为钝角，故 D正确 由于2bsin A bsin B ，可得 sin B12 sin A12 1552 55 ，故 C 正确 故选 ACD. 6在ABC中，A23 ，a 3 c，则bc _ 解析： 在ABC 中，A23 ， a2b2c22bccos 23 ，即 a2b2c2bc. a 3 c，3c2b2c2bc，b2bc2c20， 3 / 8 (b2c)(bc)0，bc0，bc，bc 1. 答案： 1 7(2020 福建省质量检测)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A23 ，a7.若ABC的面积为15 34 ，则其周长是_ 解析： 由面积公式可得 SABC12 bc sin A34 bc，又由题意知 SABC15 34 ，故 bc15.根据余弦定理，得 a2b2c2bc，可得(bc)2bca2，由 a7，bc15，解得(bc)264，即 bc8，所以周长为 abc15. 答案： 15 8(2020 浙江期中)在三角形 ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且 b cos Aa cos B2a sin C，则 A_，若 b2a，且ABC 的面积为 3 ，则 a_ 解析： 因为 b cos Aa cos B2a sin C， 所以由正弦定理可得 sin B cos Asin A cos B2sin A sin C， 可得 sin (AB)sin C2sin A sin C 因为 sin C0，所以 sin A12 . 又因为 A(0，)，则角 A6 或5a6 ， 若 b2a，由正弦定理asin A bsin B ，可得a12 2asin B ，解得 sin B1 由于 B(0，)，可得 B2 ，则 A6 ，C3 . 因为ABC 的面积为 3 12 ab sin C12 a2a32 ，解得 a 2 . 答案： 6 或56 ； 2 9(2020 全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos22A cosA54 . (1)求 A; (2)若 bc33 a，证明：ABC 是直角三角形 解析： (1)由已知得 sin2AcosA54 ， 4 / 8 即 cos2AcosA14 0. 所以cos A12 2 0，cos A12 . 由于 0A，故 A3 . (2)证明： 由正弦定理及已知条件可得 sin Bsin C33 sin A 由(1)知 BC23 ，所以 sin Bsin 23B 33 sin 3 . 即12 sin B32 cos B12 ， sin B3 12 . 由于 0B23 ， 故 B2 .从而ABC 是直角三角形 10(开放型)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 sin A 3 cos A2. (1)求角 A 的大小； (2)现给出三个条件：a2；B4 ；c 3 b.试从中选出两个可以确定ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求ABC 的面积(写出一种方案即可) 解析： (1)依题意得 2sin A3 2，即 sin A3 1， 0A，3 A3 0，则ABC 是锐角三角形 B若 a cos Ab cos B，则ABC 是等腰三角形 C若 b cos Cc cos Bb，则ABC是等腰三角形 D若acos A bcos B ccos C ，则ABC 是等边三角形 ACD 因为 tan Atan Btan (AB)(1tan A tan B)，所以 tan Atan Btan Ctan (AB)(1tan A tan B)tan Ctan C(1tan A tan B)tan Ctan A tan B tan C0，所以A，B，C 均为锐角，所以 A 项正确；由 a cos Ab cos B 及正弦定理，可得 sin 2Asin 2B，所以 AB 或 AB2 ，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以 B 项错误；由 b cos Cc cos Bb 及正弦定理，可知 sin B cos Csin C cos Bsin B，所以 sin Asin B，所以 AB，所以 C 项正确；由已知和正弦定理，易知 tan Atan Btan C，所以 ABC，所以 D项正确故选 ACD项 6 / 8 13(开放型)(2020 山东日照二模)在b2aca2c2； 3 a cos Bb sin A； 3 sin Bcos B2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_，A4 ，b 2 . (1)求角 B； (2)求ABC 的面积 解析： 若选择b2aca2c2. (1)由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac b2acb22ac 12 ， 因为 B(0，)，所以 B3 . (2)由正弦定理asin A bsin B 得 ab sin Asin B 2sin 432 2 33 ， 因为 A4 ，B3 ，所以 C4 3 512 ，所以 sin Csin 512 sin 46 sin 4 cos 6 cos 4 sin 6 6 24 ， 所以 SABC12 ab sin C12 2 33 2 6 24 3 36 . 若选择 3 a cos Bb sin A (1)由正弦定理得 3 sin A cos Bsin B sin A， 因为 sin A0，所以 3 cos Bsin B，即 tan B 3 ， 又 B(0，)，所以 B3 . (2)同上 若选择 3 sin Bcos B2. (1)由和角公式得 2sin B6 2，所以 sin B6 1. 因为 B(0，)，所以 B6 6，76 ， 所以 B6 2 ，所以 B3 . (2)同上 14(2020 河北九校第二次联考)已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，其外接圆半径 R 满足 3R22ac cos Ba2c2. (1)求 B 的大小； 7 / 8 (2)已知ABC 的面积 S3abc12 ，求 ac 的取值范围 解析： (1)3R22ac cos Ba2c2， 3R2a2c22ac cos Bb2， 即 R33 b， sin Bb2R b32 3b 32 ， 又 B 为锐角，B3 . (2)ABC 的面积 S3abc12 12 ac sin 3 ， b3，2R2 33 b2 3 ，又asin A csin C 2R，ACB23 ， ac2R(sin Asin C)2 3 sin Asin (23 A)2 3 (32 sin A32 cos A)6sin (6 A)， 由ABC 是锐角三角形得 A(6 ，2 )， A6 (3 ，23 )， sin (A6 )(32 ，1， ac(3 3 ，6，即 ac的取值范围为(3 3 ，6. 15数书九章中已知三角形三边长求三角形面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国在古代已具有很高的数学水平书中记载的三角形面积的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即三边长分别为 a，b，c 的三角形的面积 S14c2a2c2a2b222 现有周长为 4 10 的ABC 满足 sin Asin Bsin C( 2 1) 5 ( 2 1).用以上给出的公式求ABC 的面积为( ) A32 B52 C34 D54 A 因为 sin Asin Bsin C(2 1) 5 ( 2 1)，所以由正弦定理，得abc( 2 1) 5 ( 2 1).又 abc4 10 ，所以 a2 2 ，b 10 ，c8 / 8 22 ，所以 ac422，c2a2b212102，所以ABC 的面积 S14c2a2c2a2b222 12 41 32 ，故选 A项 16(多选)(2020 广东中山期末)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是( ) Asin Asin Bsin C(cos Acos B) Btan Atan B a2b2 Ccos2B2 ac2c Da cosBb cos Ac ACD 对于 A，sin Asin Bsin C(cos Acos B)，由正弦定理角化边得 abc(cos Acos B)，由 sin Asin (BC)sin B cos Ccos B sin C 得 ab cos Cc cos B，同理得 ba cos Cc cos A，代入上式整理得 c cos Bb cos Ca cos Cc cos Ac(cos Acos B)，即(ab)cos C0，因为 ab0，所以 cos C0，则 C2 ，故 A正确； 对于 B，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，故 B 错误； 对于 C，cos2B2 ac2c ，根据半角公式有cosB12 ac2c ，即 c cos Ba，即 c cos Bc cos Bb cos C，整理得 b cos C0，因为 b0，所以 cos C0，即 C2 ，故 C 正确； 对于 D，a cos Bb cos Ac，由 A知在任意的三角形中都有 a cos Bb cos Ac，所以两式相减可得 b cos A0，因为 b0，所以 cos A0，即 A2 ，故 D 正确故选ACD. 。