角平分线的性质定理和逆定理.doc

角平分线的性质定理及其逆定理一、 基础概念学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤〔1角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等证明角平分线的性质定理时,将用到三角形全等的判定公理的推论：推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等〔AAS推导过程：已知：OC平分∠MON,P是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：〔角的平分线上的点到角的两边的距离相等如图所示,∵OP平分∠MON〔∠1＝∠2,PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA＝PB．〔2角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上推导过程已知：点P是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO〔HL∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：〔到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA＝PB∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〔3角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；②实际生活中的应用．例：一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置,并说明理由．〔4角平分线的尺规作图活动三：观察与思考： 尺规作角的平分线观察下面用尺规作角的平分线的步骤<如图>,思考这种作法的依据。

步骤一：以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角的两边分别交于A,B两点 由作图可知： OA = OB 步骤二：分别以点A,B为圆心,以固定长<大于AB长的一半>为半径画弧,两弧交于点C 由作图可知： AC = BC 步骤三：作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线由作图可知：定理,可得≌同学们,讨论交流一下,你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性二、[典型例题]例1.已知：如图所示,∠C＝∠C′＝90°,AC＝AC′．求证：〔1∠ABC＝∠ABC′；〔2BC＝BC′〔要求：不用三角形全等判定．例2.如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于F,P是AD上一点,且D点到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由．例3.如图所示,已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处,距公路400m,现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．〔1学校距铁路的距离是多少？〔2请写出学校所在位置的坐标．例5.如图所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,DA平分∠CAB交BC于D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长？若能,请作出点E,并给出证明；若不能,请说明理由．练习一一、 填空题：1.如图1-31,△ABC中,AD是BC的垂直平分线,BE平分∠ABC交AD于E, EF⊥AB , 则AB = ,BF = ；2.已知：如图1-32,在Rt△ABC中,∠C = 90°, AC = BC, BD平分∠ABC交AC于D, DE⊥AB于E,若BC = 5, 则△DEC的周长为 .二、选择题：1.如图1-33,△ABC中,∠B = 42°, AD⊥BC于D,E是BD上一点,EF⊥AB于F,若ED = EF, 则∠AEC的度数为〔 ；A. 60° B. 62° C. 64° D. 66°2.给出下列命题：① 垂直于同一条直线的两直线平行；② 角平分线上的点到角两边的距离相等；③ 三角形的三条角平分线相交于一点；④ 全等三角形的面积相等；其中原命题和逆命题都是真命题的共有〔 .A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个三、解答题：如图1-34,已知：△ABC中,∠BAC = 90°, AD⊥BC于D,AE平分∠DAC,EF⊥BC交AC于F,连接BF. 求证：BF是∠ABC的平分线.[综合练习]已知：如图1-35,△ABC中,AB = 2AC, AD平分∠BAC,且AD = BD. 求证：DC⊥AC.例题答案例1.已知：如图所示,∠C＝∠C′＝90°,AC＝AC′．求证：〔1∠ABC＝∠ABC′；〔2BC＝BC′〔要求：不用三角形全等判定．证明：〔1∵∠C＝∠C′＝90°〔已知,∴AC⊥BC,AC′⊥BC′〔垂直的定义．又∵AC＝AC′〔已知,∴点A在∠CBC′的角平分线上〔到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．∴∠ABC＝∠ABC′．〔2∵∠C＝∠C′,∠ABC＝∠ABC′,∴180°－〔∠C＋∠ABC＝180°－〔∠C′＋∠ABC′〔三角形内角和定理．即∠BAC＝∠BAC′,∵AC⊥BC,AC′⊥BC′,∴BC＝BC′〔角平分线上的点到这个角两边的距离相等．例2.如图所示,已知△ABC中,PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于F,P是AD上一点,且D点到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否平分∠BAC,并说明理由．解：AD平分∠BAC．∵D到PE的距离与到PF的距离相等,∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB,∴∠1＝∠3．同理,∠2＝∠4．∴∠3＝∠4,∴AD平分∠BAC．例3.如图所示,已知△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？解：AP平分∠BAC．结论：三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E、F、D．∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上,∴PD＝PE〔角平分线上的点到角的两边的距离相等．同理PF＝PE,∴PD＝PF．∴AP平分∠BAC〔到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路,学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处,距公路400m,现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．〔1学校距铁路的距离是多少？〔2请写出学校所在位置的坐标．解：〔1∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上,∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等,又∵点P到公路的距离是400m,∴点P〔学校到铁路的距离是400m．〔2学校所在位置的坐标是〔400,－400．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5.如图所示,在△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,DA平分∠CAB交BC于D,问能否在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长？若能,请作出点E,并给出证明；若不能,请说明理由．解：能．过点D作DE⊥AB于E,则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC＝DE．在Rt△ACD和Rt△AED中,,∴Rt△ACD≌Rt△AED〔HL．∴AC＝AE．又∵AC＝BC,∴AE＝BC．∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．1.4 角平分线练习一[基础练习] 一、1. AC, BD； 2. 5. 二、1. D； 2. A. 三、提示：证AF = EF.[综合练习]提示：作DE⊥AB, 证△ADC≌△ADE. 4 / 4。