《泛函分析部分知识点汇总》.docx

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x是一个集合，若对丁x中任意两个元素x,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下歹0条件：1°d(x,y)0,d(x,y)0的充要条件为x=y2°d(x,y)d(x,z)d(y,z)对任意的z都成立，是x,y之间的距离，称d(x,y)为度量空间或距离空0则称d(x,y)问x中的元素称为点2、常见的度量空间离散的度量空间设x是任意的非空集合，对x中的任意两点x,yX,令d(x,y),1x称(X,d)为离散的度量空间0,ifx序列空间S令S表示实数列(或复数列)的全体，对S中的任意两点x(1,2,…,n,...),y(1,2,…,n,...),令d(x,y)飞——上称(S,d)为序列空间i121|ii|有界函数空间B(A设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值(或复值)函数全体，对B(A)中任意两点x,y，定义d(x,y)sup|x(t)y(t)|可测函数空间tA设M(X)为X上实值(或复值)的勒贝格可测函数全体，m为勒贝格测度，球dtX1|f(t)g(t)|若m(X)，对任意两个可测函数f(t)及g(t)由丁|f(t)g(t)|1，所以这是X上的可积函数。

令d(f,g)上旦1|f(t)g(t)|C［a,b］空间令C［a,b］表示闭区问［a,b］上实值(或复值)连续函数全体，对C［a,b］中任意两点x,y，定5d(x,y)max|x(t)y(t)|atb二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设｛xn｝是(X,d)中点列，如果存在xX,使nimd(xn,x)0则称点列｛冷｝是(X,d)中的收敛点列，x是点列＞冷｝的极限收敛点歹0性质：(1) 在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的2) M是闭集的充要条件是M中任何收敛点列的极限都在M中2、收敛点列在具体空间中的意义(1) n维欧式空间中：为Rn中的点歹0,X(1,2,...,n)R(m)即:limd(xm,x)0(xm)按欧式距离收敛丁xi,(m)1的充要条件是Xm依坐标收敛丁Xm(E(2) 序列空间S中：x((m)(m)(m))m12为S中的占列xf)Sxm(1,2,...,n,...),mI,2,...,x(1,2,...,n,...)Slimd(Xm,x)0i(m)i(m),mC［a,b］空间设次｝及X分别为C［a,b］中的点列及点，d(xn,x)max|xn(t)x(t)|atbnimd(xn,x)0(xn｝在［a,b］上一致收敛丁x可测函数空间M(X)设｛fn｝及f分别为可测函数空间中的点列及点，limd(fn,f)0fn(t)f(t)3、稠密集，可分空间设X是度量空间，E和M是X中的两个子集，令表示M的闭包，如果EM，那么称集M在集E中稠密。

等价定义：如果E中任何一点x的任何邻域都含有集M中的点，就称M在E中稠密对任一xE，有M中的点列｛xn｝,使得xnx(n)(1) 当E=X时，称集M为X的一个稠密子集2) 如果X有一个可数的稠密子集时，称X为可分空间连续映射1、度量空间中的连续性设X=(X,d),Y=(Y,d)如果对丁任意给定的x,成立d(Tx,Tx0)是两个度量空间，T是X到Y中的映射,0存在则称T在x00,使对X中一切满足连续xX,d(x,x°)我们也可以用集显来定义映射的连续性连续性的极限定义设T是度量空间(X,d)到(Y,d)中的映射，那么T在x0X,连续的充要条件为当xnx0(n)时，必有TxnTx0(n)2、连续映射如果映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射称集合｛x|xX,TxMY｝为集合M在映射T下的原像定理：T1MX中的开集度量空间X到Y的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中任意开集M的原像四、柯西点列和完备度量空间1、柯西点列设X=(X,d)是度量空间，｛Xn｝是X中点列，如果对任何事先给定的0,存在正整数NN()，使当n,m>N寸，必有d(Xn,xm)则称｛Xn壮X中的柯西点列或基本点列。

总结：在实数空间当中，柯西点列一定是收敛点列；但是在一般的度量空间当中，柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列一定是柯西点列2、完备的度量空间如果度量空间(X,d)中每一个柯西点列都在(X,d)中收敛，则称(X,d)是完备的度量空间子空间完备性定理完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是：M是X中的闭子空问五、度量空间的完备化1、等距同构映射设(X,d),(X0),是两个度量空间，如果存在X到X的保距映射T,即d(TxTy)'d(xy)，则称(X,d)和(X*)等距同队此时T称为X到X上的侔距H构映射’’’’’'六、压缩映射原理及其应用作为完备度量空间概念的应用，我们介绍巴纳赫的压缩映射原理，它在许多关丁存在唯一性的定理(例如微分方程，代数方程，积分方程等)的证明中是一个有力的工具在介绍压缩映射原理前，我们来介绍压缩映射以及不动点1、压缩映射设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a,0

3、压缩映射定理设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点注意：a. 完备度量空间中的压缩映射必有唯一的不动点b. 完备性是保证映射的不动点的存在，至丁不动点的唯一性，并不依赖丁X的完备性压缩映射具有连续性，即对任何收敛点列xnx°(n)必有TxnTx°(n)八、赋范线性空间和巴拿赫空间1、赋范线性空间设X是实(或复)的线性空间，如果对丁每个向量xX,有一个确定的实数，记为||x与之对应，并且满足：i°|x0且||x0等价丁x=02|x||||x||其中a为任意实(或复)数；3…|x^ixiX™……5…则称x|为向量x的范数，称X按范数成为赋范线性空间注：范数类似丁普通向量的长度2、关丁极限的定义(依范数收敛)设｛而是X中一点列，如果存在xX,使||ax||0(n)则称｛xn)依范数收敛丁x，记为xnx(n)或limxnx3、赋范线性空间的性质1°赋范线性空间不仅是线性空间，也是一个度量空间如果令d(x,y)||xy||,(x,yX),可以验证的d(x,y)是X上的距｛xn)依范数收敛丁x等价丁｛%｝按距离收敛丁x称d(x,y)为由范数||x||导出的距离度量和线性结构之间的协调性:d(xy,0)d(x,y)d(x,0)||d(x,0)2°范数||x||是x的连续函数。

4、巴拿赫空间及常用例子完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间1)欧式空间田，对每个x(i,2,-,n)Rn,定义~2\..2||xll』1II1n1欧式空间Rn按上述范数成Banach空间空间，对每个x,C[a,b]||x||max|x(t)|atb空间C[a,b]按上述范数成Banach空间空间l，对每个x(1,2,...)l，定义llxllsupljI空间I按上述范数成Banach空间j第八章有界线性算子和连续线性泛函一、有界线性算子和连续线性泛函1、线性算子和线性泛函的定义设X和Y是两两个同为或复的线线性空,DT是X的线线性子空，T:DTY,x,yX,及数a,6成立Tax6yaTx6Ty则称T是从DT到Y中的线的线性,其中DT称为T的定义定,TDT称为T的值值，记作RT.当RT是数域的子集时，则称T是实或复的线性泛函.2、有界线性算子和连续线性泛函设X和Y是两两个赋范线性空T:DTY是线线性算,如果存在常数c,使得成立|Tx|Cx||,xDT,则称T是DT到Y中的有界线的有界.否则，称为为无线性算子.特别地，有界线界线性泛函是特有界线界线性.3、相关定理定理1设T是线性算子，则T有界的充分必要条件是T连续定理2设f是X上的线性泛函，那么f在X上连续的充分必要条件是Nf是X中的闭子空间.4、有界线性算子的范数（算子范数）设X,Y是两个赋范线性空间,T:DTXY是线性算子，称TxTxsupxxDT为算子T在DT上的范数显见，当||t|时，则有|仅|||t|||x|,x、有界线性算子空间和共钥空间1、有界线性算子全体所成空间X丫设X和Y是两个赋泛线性空间,以表示由X到Y中有界线性算子全体。

当A和B届丁*Y,a是所讨论数域中的数，定义X丫中加法运算及数乘运算如下xX,AxBx,AxI定理1:当Y是巴拿赫空间,也是巴拿赫空间二、共钥空间1、共钥空间的定义一般，设X是赋范线性空间，如果X中定义了两个向量的乘积，并且满足xyxy,x,yX则称乂是赋范代数，当X完备时，则称X的共钥空间定理2：任何赋范线性空间的共钥空间是Banach空间2、保距算子，同构映射的定义设X和Y是两个赋范线性空间，T是X到Y中的线性映射，并且对所有xX有Txx，则称T是X到Y中的的保距算子，如果T乂是映射到Y上的则称T是同构映射，此时X与Y同构。