费马点的两证明方法.docx

费马点 的两证明方法费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在 120 度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为 120 度的点1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然但为了严谨，还是说一下2、当有一个内角大于等于 120 度时候对三角形内任一点 P延长 BA至 C 使得 AC=AC，做∠ CAP= ∠CAP，并且使得 AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形 APC以 A 为中心做了个旋转）则△ APC≌△ APC∵∠ BAC≥120∴∠ PAP=180 - ∠BAP - ∠CAP=180-∠BAP - ∠CAP=180 -∠BAC≤60 ∴等腰三角形 PAP 中， AP≥PP∴ PA+PB+PC≥PP+PB+PC>BC=AB+AC所以 A 是费马点3、当所有内角都小于 120时.做出△ ABC内一点 P，使得∠ APC=∠BPC=∠CPA=120， 分别作 PA,PB,PC的垂线，交于 D,E,F 三点，如图，再作任一异于 P 的点 P ，连结 PA,PB,PC ，过 P 作 PH 垂直 EF于 H易知∠ D=∠E=∠F=60，即△ DEF为等边三角形，计边长为 d，面积为 S 则有 2S=d(PA+PB+PC)∵ PA≥PH所以 2S△EPF≤PA*d同理有2S△DPF≤PB*d2S△EPD≤PC*d相加得 2S≤d(PA+PB+PC)即 PA+PB+PC≤PA+PB+PC，当且仅当 P,P 重合时取到等号所以 P 是费马点虽然不知道费马点在那里， 我们先假设他在某个位置， 做出来，证明他不可能具有某些性质，最后确定他的位置，这个证明仅限于三个内角都小于 120 度的时候。

以 A,C 为焦点， AP+PC为长轴长，做椭圆，以 B为圆心， BP为半径，做圆我们先假定椭圆与原是相交的，并取他们公共部分内部一点 P 则 P 在圆内也在椭圆内所以 PA+PB+PC>PA+PC+PC，与假设矛盾，所以圆与椭圆必相切（不可能没有公共点吧，因为都过 P）.做他们的公切线，并作直线 BP，显然 BP与公切线垂直由椭圆的几何性质易知， BP平分角 APC，所以∠ APB=∠CPB 同理有∠ APC=∠CPB所以∠ APC=∠APB=∠CPB=120即为费马点.。