线性代数小论文.docx
5页
摘要：分析了若矩阵A经过行初等变换化为矩阵B,则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系，以及此性质性代数的主要应用关键词：初等变换；线性相关；线性无关；线性表示线性代数主要研究的是线性问题一般而言,凡是线性问题常可以用向量空间的观点和 方法加以讨论,因此向量空间成了线性代数的基本概念和中心内容向量空间理论的核心问题是向量间的线性关系其基本概念有向量的线性表示、向量组 线性相关与线性无关、向量组等价、向量组的极大无关组,以及向量空间的基与维数等这 些问题通常转化为解线性方程组或解齐次线性方程组1 线性相关性证明设A=(A],A2,…，An)，AiUPm，若矩阵A经过行初等变换化为矩阵B，则A与B的列向量组具有完全相同的线性关系证明：设A , A经过行初等变换化为B,将A, B分别按列分块为A=(%,A2，…,a ),mxn 1 2 nB=(B1，卩2,…,Bn)由于对A只进行有限次行初等变换，故可知有满秩矩阵P，使PA=B，即 P(咛A2,…,An)=(卩1，卩2,…,卩丿，于是有i1片=P 片 (j=1,2,3,…,n) (1)设A和B对应的列向量组为a. ,a. , 和B. , B，，…,B. (lW^ Vi2V...Vi Wn),由⑴式得i1 i2 ir i1 i2 ir 1 2 r卩ik = P % (k=1,2,3, 7)因此，如果a, ,a. , •••,A,有线性关系式k’ a, +k2a, + ..我8 =0(k为实数)，则k k2…氐也必i1 i2 ir 1 i1 2 i2 r ir r 1 2 r使得kiB，+k2 B，+…+k B，=k1(PA,)+ k2(PA,)+ •••+ k(Pa.)1 i 2 i r i 1 i 2 i r i1 2 r 1 2 r=P(k a +k a + •••+ka )=P0=01 .1 2 .2 r .r反之，如果B，, B，，…,B，有线性关系式，得.1 .2 .r九B +九B +…+九B =o1 ，1 2 ，2 r ，r则由P的满秩性可知Aj=P-1Bj (j=1,2,3, •••,n)，于是有九 A + 九 A + —九 A =X P-1 B + 九 P-1 B + —+入 P-1B1 ，1 2 ，2 r ，r 1 ，1 2 ，2 r ，r=P-1(九 1B，+ 入2 B，+ …+九 B，)= p-10=01 ，1 2 ，2 r ，r这表明向量组A, ,A, , ••• ,A,与向量组B，, B，,•••,B，有相同的线性相关性，证毕。
1 ，2 ，r ，1 ，2 ，r2 线性相关性性代数中的应用2.1 向量组的线性相关性与行列式的关系若向量组A1心，…,A的个数等于于向量的维数，即m=n时，贝I」1 2 n(aaa1121aaa1222• •・aaa1323 解对A施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵_ 2-1-112_0-33-1—6_11-214 ___11-214__11-214__0002-6_4-62-24~_0-44-40~_01-110_ 36-979 __03-34—3__0003-9_1 1 -2 1 40 1 -1 1 00 0 0 1 -30 0 0 0 0显然R⑷=3，故列向量组的极大无关组含3个列向量而三个非零行的非零首元在1、2、4三列上，故a1 ,a2, a4为列向量组的一个极大无关组.这是因为:(a, a12_111a )行变换4 □011001_ 000知 r(a1 ,a2, a4) = 3，故 a1 ,a2, a4 线性无关为把a3, a5用a1 ,a2, a4线性表示，把A再变成最简形矩阵_1001An□00_ 00-10 4-10 30 1 -3000即得 a3= - a1 - a2, a5=4a1+3a2 - 3a42.3 生成子空间的基和维数1. 设有向量空间V及V，若向量空间VUV,就说V是V的子空间1 2 1 2 1 22. 设V是向量空间，如果r个向量a1 ,a2,…,ar^V,且满足(1) a1，〜,…,a线性无关；(2) V中任一向量都可由a1?a?,…,a线性表示1 2 r 1 2 r那么，向量组a1 ,a2,…,a就称为向量V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维1 2 r向量空间。 说明:(1)只含有零向量的向量空间称为 0维向量空间，因此它没有基．(2)若把向量空间V看作向量组，那么V的基就是向量组的最大无关组,V的维数就 是向量组的秩.(3)若向量组a1 ,a2, •••,ar是向量空间V的一个基，则V可表示为例3 设矩阵1122厂22-1、A= (a ,a ,a ) =2-12123<-122丿了 1B = (b , b ) = 01 2〔_4验证a1 ,a2, a3是R3的一个基，并把耳耳用这个基线性表示解 要证a】,a2, a3是R3的一个基，只要证a】，冬,a3线性无关，即只要证AU E设 b = x a +x a +x a ,1 11 1 21 2 31 3即 b = x a +x a + x a ，2 12 1 22 2323(、xx1112(b ,b ) = (a , a ,a )xx ,1 2 1 2 32122(x31x丿32记作 B=AX对矩阵(A\B)施行初等行变换，若A能变成E,则ai,a2, a3是R3的一个基，且A当变为E时， B 变为 X=A-1B厂 2 2 -1(A\B) = 2 -1 2、-1 2 2初等行变0换33-14、3123丿因有AUE，故a1 ,a2, a3是R3的一个基，且厂2323-1V参考文献1.同济大学数学系.工程数学线性代数.高等教育出版社.2007。
