北大版高数答案.doc

1 -习题 1.1 222222223.3,.3,.3,,1.961,941.,9,,.., ,,ppppkkkqpaapbpb证 明 为 无 理 数若 不 是 无 理 数 则 为 互 素 自 然 数 除 尽必 除 尽 否 则 或 除将 余 故 类 似 得 除 尽 与 互 素 矛 盾设 是 正 的 素 数 证 明 是 无 理 数设 为 互 素 自 然 数 则 素证 证 1. 22222 ,,. ..:(1)|||3.\;()||.0,1,,1,(0);(0);,,/,3.(1)( apkkxxxX数 除 尽 故 除 尽类 似 得 除 尽 此 与 为 互 素 自 然 数 矛 盾 .解 下 列 不 等 式若 则若 则若 则3解 222.3,5,1|,|5,(1)(5,1).,);()||,||()|(||||,.xxxabababab设 为 任 意 实 数 证 明 设 证 明证4..(1)|6|0.;(2)||.16015.96.1(,6.1)(5.9,).2,,(,);0,;0.1,1.1nnxxalxXlXllalaba解 下 列 不 等 式 或 或若 若 若若 证 明 其 中 为 自 然 数若 显 然解证5: 120000 ()1)().(),,)./.{|}.(,),,{|},1| /1()//()/ nnnn nnnn babbmAAABCxbCxaBmb Z设 为 任 意 一 个 开 区 间 证 明 中 必 有 有 理 数取 自 然 数 满 足 考 虑 有 理 数 集 合= 若 则中 有 最 小 数-=证7.(,),,.1/. {2|}.10n nnabmAZ此 与 的 选 取 矛 盾 设 为 任 意 一 个 开 区 间 证 明 中 必 有 无 理 数取 自 然 数 满 足 考 虑 无 理 数 集 合 以 下 仿 8题8.证习题 1.2- 2 -6426426613.1(,)(1)1(1).2. (,).13| 3,|1, ,3,(,).yxxxxyxxx xy证 明 函 数 在 内 是 有 界 函 数 .研 究 函 数 在 内 是 否 有 界时 时证解习题 1.4 21.-()lim(0);lim;(3)li;(4)limcos.|-|-|-,| , ,|| .||,||li.(2)0xaxaxa xxae直 接 用 说 法 证 明 下 列 各 极 限 等 式 :要 使 由 于只 需 取 则 当 时 故证 222,||1||| ,1|)||.min{,1}||,||2|,lim(3)0.||(1),0),xaxaxaxaaxxaxxee 不 妨 设 要 使 由 于只 需 取 则 当 时故设 要 使 即 ( 1,ln1,in{,}|||2ill0,|cos|sii2sini||,2,coxaxaxxaxaa eeea 取 则 当 时故 类 似 证 故 要 使取 则 当 时 . ..(4)20 |,lmco.2.lim(), (,)(,)().10|-||1|()||()1.lili xaxaxxfla ufxflffllM故设 证 明 存 在 的 一 个 空 心 邻 域 使 得 函 数 在该 邻 域 内 使 有 界 函 数对 于 存 在 使 得 当 时 从 而求 下 列 极 限证 3.:200222000002120 i().snsin1co11()limlilm.3lili (0).()2(4).35li xxxxxxxaaaA- 3 -201033002 2311 12()()26)lim.(7lilim.()38)lili lim)()1)()mxx xx x xx x x 2444 2100(.3)(23)(9)lili(128)(2li .6()()(10)limlilim.(xxx nnnxyyx xxny  A222210 010 042 0.11)li ()./,(3)lim() ,.8(1)lilixmmmnnx nnx nxx xaxaabbbn A 42/1.3320 2 233333302 2033332 20333315()(11)lim5li(1) )5li .11(16),lxxxxxxxxxa AA220 00 1imlim()()lixaxaxa xax    - 4 -00()1limli .()2xaxaxaxax   000222000sin14.lli(1)immcos.tasisn()n()lilli133titasin()i5s5xxxxxxxxxeA利 用 及 求 下 列 极 限 :()1/0 21.54liml2.1cosicsnin(5)lli cos.2(6)limlilim1.(7)li5)xxxaxa kxxxkx xyy xxak e 51/()010li.8lilili.5.m()()li: 0,,0|-|().(yxxxaxx effAxafxAf 给 出 及 的 严 格 定 义对 于 任 意 给 定 的 存 在 使 得 当 时) 对 于 任 意 给 定 的 存 在 使 得 当 时习题 1.5- 5 -2 2222 22 221.()0sin5.(1),|10| . ,11,|,,||0|,05()()0|sin5i|cos|sin.xxaxxx xxaxxa 试 用 说 法 证 明在 连 续在 任 意 一 点 连 续要 使 由 于 只 需取 则 当 时 有 故 在 连 续要 使由 于证00 0()|co|||,||,|,2 5,|||sin5i|,sin55()(),0||()0.,/2a axxaxxyff ffx  只 需取 则 当 时 有 故 在 任 意 一 点 连 续 ..设 在 处 连 续 且 证 明 存 在 使 得 当 时由 于 在 处 连 续 对 于 存 在 存 在 使 得 当 时证 0000000 000|/2()/()/2.3.(),,||,, ?). ||||,|()|()|(),.fxfxfxfababf xf fff  于 是设 在 上 连 续 证 明 在 上 也 连 续 并 且 问 其 逆 命 题 是 否 成 立任 取 在 连 续 任 给 存 在 使 得 当 时此 时 故 在 连 续 其证 220001,() ,(|1,ln(1), ,,(1)()arcos. ;lim()li1(),lim()xx xxf faf ff f逆 命 题是 有 理 数不 真 例 如 处 处 不 连 续 但 是 处 处 连 续是 无 理 数4.适 当 地 选 取 使 下 列 函 数 处 处 连 续 :解01 1122sinlim30.(2)n)l liarcos(1)ln2,l.5. 3:()licocoslicos0..()lx xx xx f xafaxe  利 用 初 等 函 数 的 连 续 性 及 定 理 求 下 列 极 限sn234422.884iarctarctliarctn1.14x xe- 6 -0 0 000222222 22()()(ln)((5)lim1)|lim(1)|3| 33li li .//6.,i,li.lix xx xgxbxxgxfgxx xfabfae 设 证 明证 im[(n)(]ln227. ,,(1)cos([]),,gni,1(3) 1,/.(4) eefxnf xxfZ指 出 下 列 函 数 的 间 断 点 及 其 类 型 若 是 可 去 间 断 点 请 修 改 函 数 在 该 点 的 函 数 值 ,使 之 称 为 连 续 函 数 :间 断 点 第 一 类 间 断 点 .间 断 点 第 一 类 间 断 点间 断 点 第 一 类 间 断 点,0,sin2,1,,2(5) ,1,3.xfxx间 断 点 第 二 类 间 断 点 .间 断 点 第 一 类 间 断 点 .0000 08.(),(),()() ()()(),().yf ygxhxgxfxf xgf fgxxDxRR设 在 上 是 连 续 函 数 而 在 上 有 定 义 但 在 一 点 处 间 断问 函 数 及 在 点 是 否 一 定 间 断 ?在 点 一 定 间 断 因 为 如 果 它 在 点 连 续将 在 点 连 续 矛 盾 而 在 点未 必 间 断 .例 如解习题 1.6- 7 -001.:() lim(),lim,,,(),(),[,],(.2.01, ,sin,.( xxP PABPBPAxxyyxf   R证 明 任 一 奇 数 次 实 系 数 多 项 式 至 少 有 一 实 根 .设 是 一 奇 数 次 实 系 数 多 项 式 不 妨 设 首 项 系 数 是 正 数 则存 在 在 连 续 根 据 连 续 函 数的 中 间 值 定 理 存 在 使 得设 证 明 对 于 任 意 一 个 方 程 有 解 且 解 是 唯 一 的令证证 000000212121 21)sin,|)|||| ,[|,],,[,|],(.()siin)||,.3.(,f yyfxyfxyxff xab在 连 续 由 中 间 值 定 理 存 在设 故 解 唯 一设 在 211211212212222),,,0,,()()().,.(),()() ()()() ,[,]abmabmfxfffxffxfmfxfx f连 续 又 设 证 明 存 在 使 得如 果 取 即 可 设 则在 上 利 用 连 续 函 数 的 中 间 值 定 理证 .4.()[0,]0(),[0,][0,1],(),1. ,1. , ,(,)(),()5.[0,2],(0)2.yf fxtftgftgfgf ttgftyxf即 可设 在 上 连 续 且 证 明 在 存 在 一 点 使 得 如 果 有 一 个 等 号 成 立 取 为或 如 果 等 号 都 不 成 立 则 由 连 续 函 数 的 中 间 值 定 理 存 在 使 得即 设 在 上 连 续 且 证 明证 1212112 [0,],||().(),[1].,()()1().(0),0,.0,,,() xffxgfgffgf在 存 在 两 点 与 使 得且令 如 果 则取 如 果 则 异 号 由 连 续 函 数 的 中 间 值定 理 存 在 使 得证1201.fx取第一章总练习题- 8 -221.:。