初一奥数竞赛绝对值.doc

初初一一奥奥数数竞竞赛赛 第第2 2讲讲 绝绝 对对 值值例例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜ b｜； (3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜ a｜=b，则a=b；(5)若｜ a｜＜｜ b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜ a｜＞｜ b｜． 例例2 设有理数 a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜ b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例例3 已知x＜-3，化简：｜ 3+｜2-｜1+x｜｜｜．例例5 若｜ x｜=3，｜ y｜=2，且｜ x-y｜=y-x，求x+y的值．例例6 若a，b，c为整数，且｜ a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜ c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．例例8 化简：｜ 3x+1｜+｜2x-1｜．例例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．例例10 设a＜b＜c＜d，求｜ x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．例例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求 x该满足的条件及此常数的值．练练习习二二1．x是什么实数时，下列等式成立： (1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜； ( 2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式： (2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜ a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中 0＜p＜15，对于满足 p≤x≤15的x来说， 求T的最小值6．已知a＜b，求｜ x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数 a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜ a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么 B 点应为 ( )． (1)在A，C点的右边； (2)在A，C点的左边； (3)在A，C点之间； (4)以上三种情况都有可能 答答案案解解析析：： 例例1解解 (1)不对．当 a，b同号或其中一个为 0时成立． ( 2)对． (3)对． (4)不对．当 a≥0时成立． (5)不对．当 b＞0时成立． 6)不对．当 a＋b＞0时成立．例例2解解 由图1-1可知， a＞0，b＜0，c＜0，且有｜ c｜＞｜ a｜＞｜ b｜＞ 0．根据有理数加减运算的符号法 则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得 ｜b-a｜=a-b，｜ a+c｜=-(a+c)，｜ c-b｜=b-c． 于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例例3分分析析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解解 原式 =｜3+｜2+(1+x)｜｜ (因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜ =｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x例例4解解 因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说说明明 本例的解法是采取把 a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分 类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例例5解解 因为｜ x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜ x｜=3，｜ y｜=2可知， x＜0，即x=-3．(1)当y=2时， x+y=-1；(2)当y=-2时， x+y=-5．所以x+y的值为 -1或-5．例例6解解 a，b，c均为整数，则 a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜ c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以 只能是｜a-b｜19=0且｜ c-a｜99=1， ①或｜a-b｜19=1且｜ c-a｜99=0． ②由①有a=b且c=a±1，于是｜ b-c｜=｜c-a｜=1；由 ②有c=a且a=b±1，于是｜ b-c｜=｜a-b｜=1．无 论①或②都有 ｜b-c｜=1且｜ a-b｜+｜c-a｜=1，所以 ｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．例例7解解 依相反数的意义有 ｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜ x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由 ②有x+y=1999．②-①得 2y=2002， y=1001，所以 例例8分分析析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每 个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑 3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这 里我们为三个部分 (如图1－2所示 )，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式 =-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式 =(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式 =(3x+1)+(2x-1)=5x．即说说明明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数 轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简， 这种方法又称为 “零点分段法 ” ．例例9分分析析 首先 用“零点分段法 ”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，选出最大 者． 解解 有三个分界点： -3，1，-1．(1)当x≤-3时， y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是 -4．(2)当-3≤x≤-1时， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于 -3≤x≤-1，所以 -4≤5x+11≤6，y的最大值是 6．(3)当-1≤x≤1时， y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3， 由于 -1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是 6．(4)当x≥1时， y =(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1， 由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是 0．综上可知，当 x=-1时， y取得最大值为 6．例例10分分析析 本题也可用 “零点分段法 ”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜ x-b｜，｜ x-c｜，｜ x-d｜ 的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解解 设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜ x-a｜表示线段 AX之长，同理， ｜x-b｜，｜ x-c｜，｜ x-d｜分别表示线段 BX，CX，DX之长．现要求｜ x-a｜，｜ x-b｜，｜ x-c｜，｜ x-d｜之 和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到 A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图 1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即 (d-a)+(c-b)．例例11分分析析与与解解 要使原式对任何数 x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零， 即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有 ｜4-5x｜=4-5x且｜ 1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时 原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．。