高等数学 4[1].4矩阵的逆.ppt

高等代数课件高等代数课件制作者：王小双制作者：王小双浙江海洋学院数理与信息学院浙江海洋学院数理与信息学院则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中， 当数 时，有其中 为 的倒数， （或称 的逆）；在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵 ,使得1.定义：对于n阶距阵A，如果有一个n阶距阵B，使AB=BA=E,则说矩阵使可逆的，矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵二、逆矩阵注意：逆矩阵是互相的，A也称为B的逆矩阵 记例如方阵都是可逆矩阵，且互为逆矩阵 2.性质：矩阵A的逆矩阵是唯一的 证明：设B，C都为A的逆矩阵，则AB=BA=E. AC=CA=E那一个方阵A具备怎样的情况才可逆呢？现在要解决的问题： 2. 可逆时，逆阵怎样求？1. 方阵 满足什么条件时可逆?A的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵3、伴随矩阵定义：设性质：解例：设求出 ，并验证可验证返回证明：若 可逆，4、可逆条件必要性：充分性：证明当 时， 可逆，且定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且其中 是A的伴随矩阵。

按逆矩阵的定义和唯一性性质得证毕注：奇异矩阵与非奇异矩阵的定义例1：求方阵的逆阵注意：求伴随矩阵的步骤：（1）先写矩阵中的符号和转置符号；（3）求转置2）求出 的代数余子式，填入对应的位置；回到例子解：例子小结：求矩阵逆矩阵的方法： （1）先算｜A｜ （2）若 ，则A可逆，并求（3）由公式 ，求得例2：设A、B为n阶矩阵，且A+B=AB，证明：1) A-E可逆并给出其表达式；2) AB=BA例3：已知A是3阶方阵，且|A|=2，求行列式的值例4：设A、B、C均为n阶方阵，且ABC=E，则是( )(A) AC (B) CA (C)A-1C-1 (D) A-1C-1 （4）若A可逆，则 也可逆，且二、逆矩阵的运算规则：（1）若A可逆，则 也可逆，且（2）若A可逆， ，则 也可逆，且（3）若AB为同阶矩阵且均可逆，则AB可逆，且补：若 ,则可定义（5）若A可逆，则 例2 设用逆矩阵求解矩阵方程：求矩阵X使之满足 AXB＝C练习：求矩阵X使满足（1）（2）解：例3：设解：矩阵A的多项式 设规定其中E是和A同阶的单位矩阵，称 为矩阵A的多项式。

显然 仍是和A同阶的方阵由数的乘法运算规律推出的一些公式未必完全适合矩阵 ：例如 定理：设A是一个 矩阵，如果P是 可逆矩阵， Q是 的可逆矩阵，则例：设A是 阶矩阵，且 ，则四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵 存在附：伴随矩阵的其他性质：证1.由伴随阵重要公式知,证证 由伴随阵重要公式知,证2.证3.。