高一数学函数的定义域与值域的常用方法.doc

高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换例1. 已知，试求解：设，则，代入条件式可得：，t≠1说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解例2. （1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：2）由条件式，以－x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出例4. 求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；（2）已知，求，，；（3）已知，求；（4）已知，求题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个程就行了解题过程】⑴设，由得，由，得恒等式，得故所求函数的解析式为 / （2），又3）设，则所以。

4）因为 ①用代替得 ②解①②式得题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；（2）已知求的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数程问题，需建立关于的程组，如本例（4）若函数程中同时出现，，则一般将式中的用代替，构造另一程特别注意：求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合例3. 求的定义域解：由题意知：，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：{x|x>－2且x≠±4}例2. 求下列函数的定义域：（1）； （2）【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次被开数为非负数解题过程】（1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即故函数的定义域为.当然也可表示为2）要使函数有意义，则，从而函数的定义域为题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的的围的交集，利用数轴可便于解决问题。

求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集例4. 已知函数由下表给出，求其定义域X123456Y2231435－617解：{1，2，3，4，5，6}3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定函数g（x）的围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域也可先求出复合函数的表达式后再行求解解：又由于x2－4x＋3>0 **联立*、**两式可解得：例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得，故定义域为三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的法1、分离变量法例11. 求函数的值域解：，因为，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。

2、配法例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}说明：这是一个二次函数，可通过配的法来求得函数的值域类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c3、判别式法例13. 求函数的值域解：可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次程后，该程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥04、单调性法例14. 求函数，x∈［4，5］的值域解：由于函数为增函数，故当x＝4时，ymin＝；当x＝5时，ymax＝，所以函数的值域为5、换元法例15. 求函数的值域解：令，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。

例3. 求下列函数的值域：（1） （2）（3） （4）【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域上的函数，其值域就是指集合；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据解题过程】（1）将的值域为2），即所求函数的值域为或用换元法，令的值域为3）<法一>函数的定义域为R<法二>故所求函数的值域为（－1，1]4）<构造法>习题讲解：1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案:C.【解析】:由已知得,,,,,,,,所以函数f(x)的值以6为期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的期性和对数的运算.2.设函数则不等式的解集是（ ） A B C D 答案：A 【解析】由已知，函数先增后减再增当，令解得故 ，解得【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是( ) A. 0 B. C. 1 D. 答案：A 【解析】若≠0，则有，取，则有： （∵是偶函数，则 ）由此得 于是，4.若是奇函数，则 ． 答案 【解析】解法15.已知函数若，则 . 答案 【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考查.由，无解，故应填.6.记的反函数为，则程的解 ．答案2 【解法1】由，得，即，于是由，解得【解法2】因为，所以三、知识要点1、奇偶函数定义：（1）偶函数：一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数．（2）奇函数：一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么f（x）就叫做奇函数．注意：①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域的任意一个x，则－x也一定是定义域的一个自变量（即定义域关于原点对称）．④奇函数若在时有定义，则2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f（－x）与f（x）的关系；作出相应结论：若f（－x） = f（x） 或 f（－x）－f（x） = 0，则f（x）是偶函数；若f（－x） =－f（x） 或 f（－x）＋f（x） = 0，则f（x）是奇函数．5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质在公共定义域，（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数．（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数．（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．（4） 函数f （x）与同奇或同偶．【典型例题】一、判断函数的奇偶性例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误（1）因忽视定义域的特征致错1、①；②f （x）=x2+（x+1）0错解：①，∴ f （x）是奇函数②∵ f （－x）=（－x）2+（－x+1）0=x2+（x+1）0=f （x）∴ f （x）是偶函数．分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．正解：①定义域（－∞，1）∪（1，+∞）关于原点不对称，f （x）是非奇非偶函数．②定义域（－∞，－1）∪（－1，+∞），∴ f （x）为非奇非偶函数．（2）因缺乏变形意识或法致错．2、判断的奇偶性．错解：∵ 5x－1≠0，∴ x≠0．f （x）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．∵ ，∴ f （－x）≠f （x），f （－x）≠－f （x），∴ f （x）是非奇非偶函数．分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．正解：，定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．∴ f （x）是奇函数．（3） 因忽视f （x）=0致错．3、判断函数的奇偶性．错解：由得x=±2，∴ f （x）的定义域为{－2，2}，关于原点对称．，∴ f （x）为偶函数正解：f （x）的定义域为{－2，2}，此时，f （x）=0，∴ f （x）既是奇函数又是偶函数．点评：函数f （x）=0 （x≠0）是f （x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x）=0 （x≠0）函数的定义域．（4）因分段函数意义不清致错二、函数的奇偶性与单调性的关系例3、已知：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，证明：在上也是增函数。

证明：设，则∵在上是增函数∴，又在上是奇函数∴，即所以，在上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．例4、为上的奇函数，当时，，当x<0时，求解：设，由于是奇函数，故，又，由已知有从而解析式为例5。