003_宏观对称性和微观对称性.docx

结晶化学第一章几何晶体学二、品体的宏观对称和微观对•称对称是我们常见的一种现象，比如在自然界中的花瓣，昆虫 的外形等，这些图形都可以在经过一种以上不改变其中任何两点间距离的动作后复原下面给出儿个对称性的基木概念等同图形：儿何学把具冇对称形象的物体的各部分叫作等 同图形，它包括能完全迭合的相等图形（或称全等图形）（例如花瓣）和互成镜彖的等 同而不相等的图形（例如左右手）对称图形：由二个或二个以上等同图形构成，并且很有规律地重复换句话说，对称 图形中的等同部分通过一定的动作后与原图形重合对称动作：对称图形中的等同部分通过一定的动作后与原图形重合；这样将对称图形某 一部分中的任意点带到一个等同部分中的相应点上去使新图形与原图形重合的动作叫 做对称动作对称动作有旋转、反映、倒反、平移等对称性：物体中各等同部分在空间排列的特殊规律性叫做对称性对称图形中所包括的等同部分的数目称为对称性的阶次（或称序级）.阶次的人小代表 对称程度的高低对称耍素：进行对称动作吋所依据的几何要素（点、线、面）称为对称要素对称要素 有下面儿类：（1）旋转轴；（2）反映面；（3）对称中心；（4）反轴（5）点阵；（6）螺旋轴；（7）滑移面（1）旋转轴与旋转轴和应的对称动作是旋转；进行旋转动作吋有一直线不动，将对称图形（或品体） 围绕旋转轴旋转某些角度后能使原图形重合，设n为旋转轴的轴次，即转一周重复的次 数，a为基转角，即能使图形复原的最小旋转角度，则这里的n实际上就是与该旋转轴 相应的对称性的阶次。

例如八而体中具有四次旋转轴、三次旋转轴、二次旋转轴等，符 号为4, 3, 2等旋转只能使完全相等的图形（例如都是左手）彼此重合，不可能使左 右手重合对称性定律:在晶体中只能出现1、2、3、4、6次轴,不可能出现5次和更 高次的对称轴在这里请注意点阵的无限性）対称性定律证明如下：如下左图，A和A，是相距为单位平移矢量t的两个阵点，过A和A，的两个旋转轴进行旋转角度为a的操作， 得到新的阵点B和B，,阵点间的距离应是单位平移矢量t的整数倍m,即f=mt,f=-2tcosa+t, 得到 cosa=（l-m）/2 解出 cos（x=-l, -1/2, 0, 1/2, 1I哎分「本身不是晶体,a=nB2n/3, ji/2,社 13, 2 兀（或 OR 注意：所以其刈称性井不受上述对称釉次的o在讨论品作的邓•称轴Z前，我们先看于个球件（圆形）胡对郦级］冬质示驴个球休 在平而的投彫,\绕朮过其球心垂肓对纸艸J轴旋转誓 汶小的角度所以该对称肃的I次是无穷,因为对卅询農 绕过也心血任•：线族转扇小的角度都可 以使球体复原（在阳看起来就象傅探没有转动）徳上加一点（实W示这一点在纸面 以上），该轴是儿〕側？ •次（加瞽使该轴成为二次轴,可以加上两个点。

但是两个点处 于什么位置关系呢？图给出了它们的位證关系，两点的连线垂直对称轴且到对称轴的距离相等同样我们可以给出三次、四次和六次轴对称轴的国际符号和图标分别为：1, 2, 3, 4,62）反映面少反映面和应的对称动作是反映；进行反映动作吋，有一个面不动注意：进行反映动作正如照镜子时物与象的关系-•样，两个等同图形中的相当点间的连线,与対称中心相应的対称动作是倒反（反伸）；进行倒反动作时有一个点不动，必须注意，进 行倒反动作时两个等同部分的相当点间的联线必须通过对称中心与对称中心相应的对称性 的阶次为2倒反能使等同而不相等（左右手）的图形重合；一次倒反不能使相等图形重 合4）反轴与反轴相应的对称动作是旋转和倒反组成的复合对称动作动作进行时，先绕某一肓线旋转 一定角度，然后再通过该直线上某一点进行倒反（或先倒反再旋转），该直线就称为反轴 整个动作进行中有一点不动与反轴相应的对称性的阶次是这样决定的：当轴次为偶数对阶次与轴次同，当轴次为奇数时 阶次为轴次的2倍，进行一次旋转、倒反动作时只能使左右手重合一次反轴操作和经过对称心的操作效果相同次反轴二对称心操作和经过反映而的操作效果相同三次丿乂轴，3=3+i四次反轴，4上右图给出了四次反轴的情况，用生表示。

六次反轴，用色表示六次反轴操作和经过三次轴和反映血的共同操作效果相同［实六次也r 倒心 2虚六次緩 25 倒心 3才 八次怨倒反4虚六次绷芬 4倒区r 5实六次蝕 倒心 6虚六次反轴,6（5）点阵（平移）与点阵相应的对称动作是平移，进行平移动作时每一点都动，例如CsCl结构模型中的点阵 与点阵和应的対称性的阶次为8平移只能使和等图形重合，而不能使左右手重合螺旋轴N()螺旋轴&螺旋轴螺旋轴&（6）螺旋轴与螺旋轴相应的对称动作是旋转利平移组成的复合对称动作（又称为螺旋旋转）动作进行 时，先绕一直线旋转一定角度，然后在与此直线平行的方向上进行平移（或先平移再旋转）, 该直线就称为螺旋轴，整个动作进行中每一点都动了螺旋旋转动作只能使相等图形重合, 而不能使左右手重合对于晶体,螺旋轴的平移动作的氏度冇没冇什么限制呢?/冇为仲幺？因为晶体的点阵纳如对于有螺旋对称的品体，进行螺旋对称操作后, 螺旋轴平移分量的条件 一厂一t = m/nTT：平行于螺旋轴的总线点阵的素向量；m螺旋轴的轴次 tm： 0, 1, 2, •••, n-1螺旋轴的国际符号：口口上面图中空心点只用来表示过程可以想想螺旋轴鱼会是什么样？（7）滑移面与滑移血相应的对称动作是反映和平移组成的复合刈•称动作（乂称为滑移反映）。

动作进行 时，先通过某一平面进行反映，然后在此平而平行的方向上平移（或先平移，后反映），该 平而就称为滑移而，整个动作进行中每一点都动了与滑移而相应的对称性的阶次为8滑 移反映动作能使等同而不相等（左右手）的图形重台，进行一次滑移反映不能使相等图形重 合，这是在平面图上区別二次螺旋轴少滑移面的关键WWW AAAAAA对称面VVVVVVAAAAAA滑移面滑移而的分类a、b、c滑移而 动作进行吋，通过某一平而进行反映，然后在此平而平行的 方向上平移距离若为l/2a (l/2b, 1/2 c)(或先平移，后反映)，该平面就称为a (b, c) 滑移面如下左图，1点经过所给平血操作再沿c轴方向滑移l/2c可以和2点重合，这样的滑移面为 c滑移面下右图给出了左图中的一个面及a、c滑移面n 1 :■ •■1 1:一——4/•1C滑移血||II 11II滑移面n 1移II若平移距离为l/2(a+b) (l/2(b+c), l/2(a + c),则该平面就称为n滑移面如下左图，1点经过所给平而操作再与该平而平行滑移1/2(a+ c)可以和2点重合，这样的滑移面为n滑移面下右图给出了左图的平面投影及n滑移面。

An滑移面||II 11IIJL；；O2||HIInIIII a II图中黑点在纸面上,空心点在距离纸面l/2b的位置若平移距离为l/4(a+b+c) (l/4(b+c), 1/4(a+ c),则该平面就称为d滑移面双线空心点在距离纸面l/4b的位置，三线空心点在距离纸面3/4b的位置。