不动点理论在数列中的应用.doc

第 1 页（共 13 页）不动点理论在数列中的应用四川省宜宾市南溪第一中学校 潘昌明摘要：理解度量空间下的不动点原理，同时研究其在递推数列中的应用，获得数学思维的提升，展望高考压轴题新方向关键字：不动点原理；连续函数；递推数列；通项公式；不等式Fixed point theory in the sequence of applicationAbstract: Understand metric space under the fixed point principle, and study its application in recursion sequence, the promotion prospects, mathematical thinking problem new direction launchs entrance.Key words: Fixed point principle;Continuous function; Recursion sequence;The general formula; Inequality.1预备知识1.1 定义　设 是度量空间， 是 到 的映射，若存在数 ，使XTX)10（得对所有 ，成立yx,，yxd,,（ 表示实数直线 上任何两点 之间的距离） 则称 是压缩映射。

d,RT压缩映射从几何角度来说，就是点 和 经 映射后，它们的像的距离缩xy短了，不超过 的 倍yxd,)10（1.2 定理及其证明定理 1 设 是完备的度量空间， 是 上的压缩映射，那么在 内必XTXX，使得 xxT第 2 页（共 13 页）证明：设 是 中的任意一点，令 ， ，0xX01Tx.0212xT，…..nnT1以下证明点列 是 中的柯西点列事实上， 111 ,,, mmmxdTxdxd而 01221 ,., xdm由三点不等式知，当 时，nnmmnm xdxdxxd ,.,,, 1211 001 ,,. mnn0Q1mn故： xdxdmn10,,所以当 时，,nm即 是 中的柯西点列nxX由 的完备性，则 使得,x)(x则： xdTdTd mm,,,, 1当 时，上式右端趋于 0，故 ，即m0T故： ，使得 .Xxx从以上的证明可以看出，由于 映射下的点列是柯西点列，而柯西点列是收敛的数列，所以不论 怎么变化，始终 ，使得 成立。

于是就Xxx有下面的２ 问题的提出定义：方程 的根称为函数 的不动点xfxf设 ，其中 是 的一个区间，数列 满足 ，RDf: naD1，若 是连续的且 收敛于 ，则21nan fnar第 3 页（共 13 页）rfafafr nnnn 11limli这样数列 的收敛问题就和函数 的不动点紧密联系起来然而数列xf可以看作是定义在自然数集合上的特殊函数，则 可借助于递推na 1naf数列 的不动点将某些递推关系式所确定的数列化为熟知的等差、等比或降f为阶数较低的递推数列３ 递推数列的通项公式３.１ 一阶线性递推数列设一阶线性递推数列由递归方程 给出)0(1pqan当 时， 　　　　　　　　　　　　　　　　（1）0q)2(1npan若首项 ，则（１）等价于以 为首项， 为公比的等比数列1当 时， 　　　　　　　　　　　　　　　（2）)(1qn设 ，则（2 ）由递推数列 ，只需把（2 ）转化为（1）pxf1naf的情形设 得： （ 为待定系数）nba，即qpn1 )(1qpbn为要使 满足（1 ） ，故： ，则 p1}{n 0即 是函数 的不动点。

于是有qpxf定理２　若 是函数 的不动点，则一阶递推数列（2）等),0(pf价于 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）1nna由定理２易知（2 ）所确定的数列的通项公式为 )2(11npan例１：已知数列 满足， ， ，求 的通项公式na1231ann解：由 得：123nn第 4 页（共 13 页），3123nna设 ，则nb1nb而函数 的不动点为１，则32xf )1(32nnb故： ，则)1(nnbnb)(所以 (2Na３.２ 二阶递推数列3.2.1 二阶线性递推数列设二阶线性递推数列由递归方程： 　　（４）)3(21nrqapan给出，为求（４）所确定数列的通项，借助于一阶线性递推数列的结论，为此令 ，并将其代入（４）：为 待 定 系 数 ）(1nnab rapqprqp nn212)()( 要把 变成（２）的形式，即nb bnn1)(只需 ，故：pq02qp若 ，则 为 的根，于是有xf2xf定理３　若 是 ＝０的根，则二阶线性递推数列等价于一阶qpf2递推数列（５）)3()()211 nraann由上述定理，一般可将 阶线性递推数列k降为 阶递推数列，再应用定理２nknknkn apapa.21 1就可以确定出通项公式。

特别地，当（４）中的 时， （４）所对应的线性递推数列为0r（６）)3(21nqapan第 5 页（共 13 页）下面分两种情况讨论（６）的通项公式：①当 有两个不等根 时，由定理３可知，02qpx21，）211)(nnnaa即 ）2则 　　　　　　　　　　　　　　　　　（７））211(nnn则 　　　　　　　　　　　　　　　　　（８））22aa由（７） ， （８）两式得：（９）nnn 21121212)( 因此若数列给出了首项 并且在 确定的情况下，只需设,2a21,然后根据 联立二元一次方程组解出为 待 定 系 数 ）yxxan,(21 a即可y,（２）当 有两个相等根 时，设02qp21， 21把（９）式改写为 ).().( 32412413123212312   nnnnn qaa 而 ，则21 ()(nna例２：求Ｆibonacci 数列 , 的通项公式 21F)3(21nFn nF解：由于Ｆibonacci 数列是二阶线性递推数列，设 ，则 的两根为2xf 0xf 251,1则设 nnnyF21故： ，则22121x51yx所以 nnnF25第 6 页（共 13 页）例３：已知数列 满足， ，求 的通项公na 134,1,2211 nnaana式。

解：设 342xf则 的两根为0x,12由定理 3 可知， 12nnaa令 ，则1abnn 3b再设 ，则 的不动点为xgxg231nn. 2122 33nnnn abb即 1nn则 )2(321a故： 41nnn而 也适合上式，则1 )(2134Nnan3.2.2 二阶非线性递推数列设二阶非线性递推数列 满足，首项为 ，n1a且 （１０）)0(4221 abaann为求（１０）所确定的数列的通项，令 为 待 定 系 数 ）(21nna则 221aannn故： 　　　　　b42ab2若令 ，则有xaxaf 22，即04122bbx 02ab第 7 页（共 13 页）故：函数 有两个不动点xf ab2,而 ，则 ab20a则称 是函数 的“最小不动点” ，于是就有b2xf.定理４ 若数列数列 满足，首项为 ， ，n1a)0(422abann且 是函数 的“最小不动点” ，则数列 的通项可转bxaf422 n化为由 求出。

21nn例４：已知数列 满足， ， ，求数列 的通项公na1142nnaana式解：设函数 42xxf则由 得： 是函数 的“最小不动点”f1f故： 21nna令 ，易知 ，则b0b21nb所以： nn212loglog再设： ，则其不动点为xx12log)(ll 1212 nnnbb故： )(Na３.３ 分式递推数列3.3.1 分式线性递推数列由递归方程 　　　　　　　　(１１)2,0(1ncbadcan所确定的数列称为分式线性递归数列定理５　若 是函数 的两个不动点，则21， dcxf第 8 页（共 13 页）①当 时，(１１) 式等价于 　（１２）21 )(212121 cakaknn ②当 时，(１１)式等价于 （１３）21 )(1dnn 证明：① 是函数 的两个不动点，21， dcxbaf则 为方程 的两根 0cx故：  cadbcadbacdcab nnnnn 211212121211121  而 dc2221,则 21cabab故： )(212121221 cakaknnn ②设 是方程 的二重根，则0bxadccbad,042而 cdadcnnn  11 又 　　　　　故：ab cnn1cacadcannn 11)(1而 　　　则cd22,故： )(11dackann 第 9 页（共 13 页）由此可以看出，分式线性递推数列 中，)2,0(1ncbadcan设函数 ，则当 有两个不动点时，原数列可转化为等比数列；dcxbafxf当 有两个相同的不动点时，原数列可转化为等差数列。

例５：　已知数列 满足， ， 求 的通项公式na1,213nan解：设 ，则 的不动点为213xfxf ,1则： 故141nna 521842nnna即 )(24Nann在来看看以下的二元线性递推数列设两个数列 满足， ，且nyx, 1,yx)0,(1 cbadcybxnn 且则上式可转化为 dyxcbadcxynnnn 1令 ，则有 ，于是问题转化为分式线性递推数列的情形nyxzczban13.3.2 分式非线性递推数列把由递归方程 所确定的数列称为分式递推数列，)0(1acfebaknn以下只讨论在 的情形下，求数列 的通项公式k2,0n当 时，aebk,2（１４）fcnn12第 10 页（共 13 页）定理６　若 为方程 的两个不同点，则qp,caxbf2①当 时， （１４）式等价于 （１５） ),2(1Nnqpnn②当 时， （１４）式等价于 　　　　　　（１６）qpa2证明：① capbpcabnnnn 12112而 ，即02bcpa2则 cnn12同理可得： aqnn12上述两式相除得： 。

),2(1Nnqpnn故：若令 ，则不难由 求得 ，进一步求得 qapbn21nbnna② capcnnnn  1112而 是函数 的不动点。