同济版高等数学教案第五章 定积分.doc

高等数学教案 第五章 定积分 第五章 定积分 教学目的：1、 理解定积分的概念2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法3、 理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿-莱布尼茨公式4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分. 教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、 定积分的换元积分法与分部积分法3、 牛顿-莱布尼茨公式 教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法.4、 变上限函数的导数.§5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间［a, b］上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f （x）所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a, b］中任意插入若干个分点a=x0< x1< x2< × × ×< xn-1< xn =b, 把[a, b］分成n个小区间[x0, x1], [x1, x2］, ［x2, x3］, × × × , [xn-1, xn ］, 它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , × × × , Dxn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间[xi-1, xi ］上任取一点x i , 以［xi-1, xi ]为底、f （x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形（i=1, 2, × × × , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即A»f （x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+× × ×+ f (x n ）Dxn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记l=max{Dx1, Dx2,× × ×, Dxn ｝, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1, T 2]上t的连续函数, 且v（t）³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v（t i), 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi= v（t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2］内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内任意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<× × ×< t n-1< t n=T 2, 把［T 1 , T 2]分成n个小段[t 0, t 1], ［t 1, t 2], × × ×, [t n-1, t n］ , 各小段时间的长依次为Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1,× × ×, Dt n =t n -t n-1. 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为DS 1, DS 2, × × ×, DS n. 在时间间隔［t i-1, t i]上任取一个时刻t i (t i-1

利用定义计算定积分. 解 把区间［0, 1]分成n等份, 分点为和小区间长度为 (i=1, 2,× × ×, n-1), （i=1, 2,× × ×, n） . 取(i=1, 2,× × ×, n）, 作积分和 . 因为, 当l®0时, n®¥, 所以 . 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求. 解： 函数y=1-x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间［0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1］为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以 . 三、定积分的性质 两点规定: (1)当a=b时, . （2）当a>b时, . 性质1 函数的和(差）的定积分等于它们的定积分的和（差) 即 . 证明: 。