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华坛数学讲堂】八年级第一讲—全等三角形B想必大家对全等三角形&三角函数已经有一定的认识 性，会解出全等三角形的一些题目了那么，在最基础的全 等定理SSS,SAS,AAS,ASA以及当A>90°时的SSA,是如何 比较正规化的证明出来的呢？以下证明均以a的对角为a, b 的对角为卩，c的对角为丫来讨论在此证明均为证明已知此 条件有且仅有一种三角形对其成立已知三组对应边相等，由余弦定理，我们有c =a +b -2abcosy那么 cosy=/2aby=Arccos/2ab)同理，卩=Arccos/2ac)a=Arccos/2bc,或 a= 180°-p-丫那么三组对应角也可求出，由三角形全等基本定义， 可知，两三角形全等，那么SSS成立同理，已知两组对应边即其夹角，由余弦定理也有c =a +b -2abcosy剩余两角同证SSS可求出，同样由基本定义，可知三 角形全等，即有SAS成立已知两角一边，由内角和定理，有 y=180°-a-P利用正弦定理，asinp/sina=b, asiny/sina=c由基本定义，可知，两三角形全等，即有AAS与ASA 成立我们现在需要加重讨论的，即为当AN90。

时的SSA证 明其成立已知两边一个非夹角，假设已知的两边为a, b,已知 的非夹角为a,那么由正弦定理，有a/sina=b/sin 卩bsina/a=si n 卩P=Arcsin ①我们发现，在0——180中，卩有两解，若a>90°,那 么只可取锐角值，符合一解若当a>b, a为锐角时，由①式，必有a>p,那么 180°-P+a>180°,说明其只有一解，符合那么当£b或此90时，必然有SSA成立这样，我们再一次得到了基础全等定理SSS, SAS,A AS, ASA,当A290时的SSA,并且用较正规的方法证明 在八年级第一讲A中，曾经我们提到过面积，周长， 边和角的关系，现在我们来选取一些来证明① 已知三角形面积，一组对应边长，一组对应角角度相等，两三角形全等证明：我们先假设这组对应边的对角非已知的这组对 应角，即已知S、a、Y由三角形面积公式，有S=l/2*absiny,变形有2S/asinY=b，那么b值即可确定， 由SAS可知两三角形全等那么我们有：已知面积、一边与此边非对角相等时， 三角形全等当已知面积、一边与此边对角时，由三角形面积公式 S=l/2ah,可知，高h可确定，2S/a=h如图 1, AC, ZABC, BD, S 为定值，以ZABC=a, 设A坐标为，B坐标为，那么有Arctan-Arctan) =a由于h, a, a为定值，在0。

——180中tan值都不等, 则x有唯一解，ABd, BC=Vn+hQ),由SSS可知，三角形 全等则三角形面积，一组对应边长，一组对应角角度相等, 两三角形全等② 已知三角形面积，周长，一组对应边边长相等，两 三角形全等证明：由三角形面积公式S=l/2ah,有2S/a二h,则关于a边的高确定如图2,设BC二a,即为已知边，AD为高，以BC之 1/2长度为原点建立坐标系，BC为横轴，则其高平行于纵轴设B与C为一椭圆的焦点，原椭圆方程为 x /p +y /q =1,由椭圆的性质可知，椭圆任意一点离两焦 点距离之和相等，利用这性质，我们就可以寻找有多少个在 此椭圆上的点满足AD二h的条件容易发现，B点坐标为，C点坐标为设A点坐标为, 那么 2p=V□+h□ ) +7口+11口), 2p=C-a,由定义有 q =p -我们发现，上述方程一共有四组p与q的解，但p与 q只有一组解，说明椭圆唯一p与q为定值，把A坐标 代入，有 xO =p *, x0=±7那么xO值有正负两解，由于正解至第一个焦点的距离 等于负解至第二个焦点的距离，正解至第二个焦点的距离等 于负解至第一个焦点的距离，由SSS可知，三角形唯一。

则 可证明三角形全等则已知三角形面积，周长，一组对应边边长相等，两 三角形全等，得证③ 、已知三角形周长，一组对应边长，一组非已知对 应角角度相等，两三角形全等证明：设已知边长为a,已知角度为卩，那么我们已知 的为C, a,卩如图3,卩的一个邻边为a, AC为三角形的一条高， 那么容易得知，AC=asinp,其底边长为BC+acos0设B点坐标为，在任意负数横坐标中，都有三角形的 周长为C=a-x+7容易发现，x越小其周长越大，说明无多解有唯一 解集，则周长唯一则我们又再次得到一个定理：已知三角形周长，一组 对应边长，一组非已知对应角角度相等，两三角形全等余下面积、周长、边长、角度的关系，相信大家很容 易证明出来但是，本讲堂发现，某些同学曾经用已知面积, 两组对应边边长去证明三角形全等，这是正确的吗？现在我 们一起对其进行讨论，首先我们先从基本形式进行试证女口图 4, AABC 与ABCD 中，AB=BD, BC=BC, SAABC=SABCDo我们一眼就可看出AC工CD,这是为什么 呢？我们发现，当面积相等时，由于没有角度相等，两边 可任意旋转，所解有两个，与SSA类似，所以不能证明三角 形全等。

如上，我们可得：已知面积，两组对应边边长，三角 形不一定全等那么我们又应该如何用一般性的方法对其证 明不成立呢？证明：利用三角形面积公式S=l/2absiny,我们有 y=Arcsin我们发现，只有当2S/ab=l时，丫有唯一解y=90°,其 余在0°——90° , 90°——180°分别有一解，且满足 yl=180°-y2,说明其不一定，有两组解我们对各种定理再次重新证明了一遍，并且对某些不 正确命题给出了反证在我们证明三角形全等时，假设符合 面积，周长，边长，角度的定理，我们就可以省去很多步骤, 对其直接证明了！例2：如图5, EG=4, GH=8,在矩形EFGH中作一个 最大的椭圆，其中椭圆的两个焦点为A与C,已知B与D 为椭圆上的两点，AE〃CD, Z ABC= Z ADC,连接 AE,BF,DG,CHo 求证：©AABC^AACDo ②四边形 AEGD 9四边形BCFH证明：TA, C为椭圆的焦点，B, D为椭圆上任意两 占八、、•••AB+BC二AD+CDVZADC=ZABC, AB〃CDAABCD为平行四边形•••AB二CD, AD=BC, AC=ACA AABC^AACD•・•椭圆两焦点至椭圆顶点的距离相等，AC往两边延 长，交与I, J两点••• EI=GI=FJ二JH, ZEIA=ZGIA=ZCJH=ZCIF, AI=CJ••• AEIA 竺△ AIG9 ZXCJF 竺 ACJHA AAEG^ACHF, ZEAI=ZFCJ••• ZEAC=ZFCA•.* ABCD为平行四边形，AC为其一条对角线AZBCA=ZCAD, AD=BCAZBCF=ZGADV AEAG^ACFH••• CF 二 AGAAGAD^ABCFAZADG^ZBCF*.• ZAEG二ZCHF, ZEAG+ ZGAD= ZBCF+ ZFCH,ZEGA+ ZAGD= ZHFC+ ZCFB, AE二CH, EG二FH, AD二BC,DG 二 BF•••四边形AEGD9四边形BCFH在例2的基础上，连接BG与FD, BE与DH, EC与 CG,试证明五边形BGDHC9五边形DFBEA,且求出四边 形ECGA的面积。