武汉大学2009数学非数学类)竞赛模拟试题2)及解答资料.pdf

武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2） 武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2） 一、填空题 1、若有 一、填空题 1、若有 333 1 1 12 n n i x i= = +++ ∑ ? ，则，则lim →∞ = n n x 2、已知 2、已知 − ⎧ +≠ ⎪ =⎨ ⎪ = ⎩ ∫ 24 2 2 3 0 1 ln(1)0 tan2( ) 0 x tx t edtx xf x ax 在在0x=处连续，试确定参数处连续，试确定参数a的值 3、设函数 的值 3、设函数( )f x可导，且，可导，且，00( )f= 1 0 ( )() x nnn F xtf xtd − =− ∫ t，则，则 2 0 ( ) lim n x F x x → = 4、级数 4、级数 2 113 33() mmn mn m n nm ∞∞ == + ∑∑ 的和为： 的和为： 5、已知 5、已知 23 4 1 1 1 () y dxydxy dxy dxdx y − +++⋅= − − ∫∫∫∫∫ ，则，则( )xf y== 二、若 二、若( )f x满足，且对时有满足，且对时有11( )f=1x ≥ 22 1 ( ) ( ) fx xfx ′= + ，证明：，证明：lim( ) x f x →∞ 存在，且值小于存在，且值小于 1 4 π π +。

三、设 三、设 1 ( )sin n k k f xak = =∑x，且，且|( )| |sin|f x ≤x)，又为常数，试证 ，又为常数，试证 1 2(, ,, i ain=?1|| n k k ka = ≤ ∑ 四、 设函数在闭区间上连续， 在开区间内大于零， 并且满足四、 设函数在闭区间上连续， 在开区间内大于零， 并且满足( )f x0 1[ , ]0 1( , ) 2 3 2 ( )( ) a xfxf x′=+ax（为常数） ， 又曲线 （为常数） ， 又曲线( )yf x=与所围成的图形与所围成的图形1,xy==0S的面积值为 2，求函数的面积值为 2，求函数( )yf x=；并问为何值时，图形；并问为何值时，图形aS绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小 绕 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小 ox 五、若为内的连续函数，且满足 五、若为内的连续函数，且满足 ( )f t(,)−∞ +∞ 2222 2223 3( )()||(,) xyzt f tfxyzdxdydztt ++≤ =+++∈ −∞ +∞ ∫∫∫ ，试确 定 ，试确 定 3 1 4 ()f π π 与与 3 1 2 (f) π π −的值。

六、已知，求级数 六、已知，求级数 111 111 10 nnn nnn nnn na xna xa x ∞∞∞ −++ === −−− ∑∑∑ = 1 n n n a x ∞ = ∑ 七、设二阶常系数线性微分方程七、设二阶常系数线性微分方程 x ypyqyle′′′++=的一个特解为的一个特解为 2 1() xx yex=++e，试确定常数，试确定常数, ,p q l，并求 该方程得通解 八、设函数 ，并求 该方程得通解 八、设函数( )f x在上可导，且满足方程在上可导，且满足方程],[ba)0, 0(ba)()()(2 2 ))(( bfabdxxfe ba a bxbx −= ∫ + +−λ 证明：存在使 证明：存在使),(ba∈ξ0)()(2=ξ′+ξλξff成立 九、证明： 成立 九、证明：2( ) ( ) L y xf y dydx f x − ∫? ≥0)，其中为圆周曲线，其中为圆周曲线L 22 1()()(xayaa−+−=正向，正向，( )f x连续取正值 连续取正值 1 武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）解答 武汉大学 2009 数学（非数学类）竞赛模拟试题（2）解答 一、填空题 1、若有1、若有 333 1 1 12 n n i x i= = +++ ∑ ? ，则，则lim →∞ = n n x 解：由 333 1 121 2 [()]ii i+++=+? 2 22 1 121 2 ()[(ii i+++=+?)] 所以 3332 11 11 2 1 1212 () () nn n ii x i i ii== === 1 1 n i= + ++++++ ∑∑ ?? ∑ 1 111 22 1 11 ()( n i iin = =−=− ++ ∑ ) 故有： 2lim n n x →∞ = 2、已知2、已知 − ⎧ +≠ ⎪ =⎨ ⎪ = ⎩ ∫ 24 2 2 3 0 1 ln(1)0 tan2( ) 0 x tx t edtx xf x ax 在在0x =处连续，试确定参数处连续，试确定参数a的值。

的值 解： 由 →→→ + + == + ∫ 2 2 44 2 2 24 0 32 000 ln(1)d 2ln(14) lim ( )limlim 26 x t x xx xxx tet xe f x x ex ex e 4 6 8 x →→ == ++ 22 444 2424 2624 00 88 limlim 368(68) xx xxx xx x ex e x ex ex ex = 4 而( )f x在处连续， 故0x = 0 (0)lim( ) x ff x → = 所以有 4 3 =a 3、设函数3、设函数( )f x可导，且，可导，且，00( )f= 1 0 ( )() x nnn F xtf xtd − =− ∫ t，则，则 2 0 ( ) lim n x F x x → = 解：令，则 n uxt=− n 00 11 ( )() ()( ) n xx nnnn F xf xtd xtf u du nn = −−−= ∫∫ 故有 1 0 2221 0000 1 1 1 22 ( ) () ( )() limlimlimlim n x nn n nnn xxxx f u du f xnx n n F xf x n xxnxn − − →→→→ === ∫ x 0 101 0 22 ()( ) lim( ) n n x f xf f nxn → − ′== 4、级数4、级数 2 113 33() mmn mn m n nm ∞∞ == + ∑∑ 的和为： 的和为： 解： 222222 1111111111 11 33333333333 3333 () ()()() mmnmmnnmmnnmnmn mnmnmnmnmn m nm nm nmnmn nmnnmmnnmnm ∞∞∞∞∞∞∞∞∞∞ ========== ==−=− +++ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ + 2 等式右端第二式正好是左端将与对调的结果，所以其和相等，故 mn 2 2 11111 11 33323 323 () () mmnnmn mnmnn m nmnn nm ∞∞∞∞∞ ===== == + ∑∑∑∑∑ 利用 2 100 1 11 ()() () nnn nnn dd nxnxxxx dxdxxx ∞∞∞ === ==== −− ∑∑∑ x 则有 2 222 2 11111 1 1111 3 3 1 33323 32322 432 1 3 ()[]( ) () () mmnnmn mnmnn m nmnn nm ∞∞∞∞∞ ===== ==== + − ∑∑∑∑∑ 9 = 5、已知5、已知 23 4 1 1 1 () y dxydxy dxy dxdx y − +++⋅= − − ∫∫∫∫∫ ，则，则( )xf y== 解：由题设条件，注意到： 42 111()( 3) yyyyy−=−+++，可有 4 4 11 1 11 () () yy dxdx yy −− ⋅= − −− ∫∫ 考虑 1 1() ()Ydxdx Y ⋅= ∫∫ −，显然0Ydx ≠ ∫ ，且 1 0dx Y ≠ ∫ ，从而有 1 dx YYdx = − ∫ 1 ∫ （*） 对（*）式两边求导数得： 2 1 () Y YdxY YYdx =⇒= ∫ ∫ ± 两边再求导数得： ,ln, c YYYY YYxcY x Y ′′′= ±⇒== −⇒== ln 即： 4 4 11 11 ()( ln;ln c)ycy xx yy −− == −− 二、若二、若( )f x满足，且对时有满足，且对时有11( )f=1x ≥ 22 1 ( ) ( ) fx xfx ′= + ，证明：，证明：lim( ) x f x →∞ 存在，且值小于存在，且值小于 1 4 π π +。

证：有积分公式，知 1 1( )( )( ) x f xffx dx′−=∫ 由题设知，，故0( )fx′( )f x在1 [ ,)+∞上是增函数，又11( )f=，故当时，， 所以有： 1x ≥1( )f x ≥ 1 222 111 11 1 1 ( )( )( )arctan| ( ) xxx x f xffx dxdxdxx xfxx ′−==≤= ++ ∫∫∫ 4244 arctan x π πππππππ =−，故 当5a = −时旋转体的体积最小 五、若五、若( )f t为内的连续函数，且满足 为内的连续函数，且满足 (,)−∞ +∞ 2222 2223 3( )()||(,) xyzt f tfxyzdxdydztt ++≤ =+++∈ −∞ +∞ ∫∫∫ ，试确 定 ，试确 定 3 1 4 ()f π π 与与 3 1 2 (f) π π −的值 解：由题设知（利用球坐标） 2222 2 22232323 0000 331( )()||( )||( )|| tt xyzt 2f tfxyzdxdydztddf r r drtf r r drt ππππ θϕπθϕπ ++≤ =+++=+= ∫∫∫∫∫∫∫ + 2 显然，当时， 00( )f=0t 232 0 12123( )( )( )( ) t f tf r r drtftt f ttππππ′=+⇒= ∫ + 此为( )f t的一阶线性微分方程， 解之得： 22 331212 244 11 11 3 44 ( )[][] t dtt dt tt 3 4 1 t f tet edtceecc e ππππ π πππππ ππππ − −∫∫ =+=−+= − ∫ + 由得00( )f= 1 1 4 c π π =，故 3 4 3 11 11 444 ( )()()() t f tefe π π ππππππ =−⇒= 1 − 0 12123( )( )( )()() t 当时， 0t ba)()()(2 2 ))(( bfabdxxfe ba a bxbx −= ∫ + +−λ 证明：存在使 证明：存在使),(ba∈ξ0)()(2=ξ′+ξλξff成立。

成立 证明：由)()()(2 2 ))(( bfabdxxfe ba a bxbx −= ∫ + +−λ ，积分中值定理得： 22 2 2 ( )( )( ) a b bx a ef bef x dx ef ba λλληλλλη η η + == − ∫ 令，则)()( 2 xfexF bλ =( )( )F bFη η=，微分中值定理得：在),(bη中至少存在一点使ξ0)(=ξ′F 即：0)()(2=ξ′+ξλξff 九、证明：九、证明：2( ) ( ) L y xf y dydx f x − ∫? ≥0)，其中为圆周曲线，其中为圆周曲线L 22 1()()(xayaa−+−=正向，连续取正值 正向，连续取正值 ( )f x 证明：设,( ( ) y )PQxf y f x。