全国各省文科立体几何大题真题-37页.pdf

2014-2018全国各省文科立体几何大题真题一、解答题（共35 小题；共455 分）1. 如图，四边形?是平行四边形，平面?平面 ?，? ? ，? = 2，? = 3，? =? = 1，? = 6， ?= 60，?为 ? 的中点（1）求证： ?平面 ?；（2）求证：平面 ?平面 ?；（3）求直线? 与平面 ?所成角的正弦值2. 如图，已知正三棱锥?- ?的侧面是直角三角形，? = 6，顶点 ?在平面 ?内的正投影为点 ? ，?在平面 ?内的正投影为点? ，连接 ? 并延长交? 于点 ? （1）证明： ?是 ? 的中点；（2）在图中作出点?在平面 ?内的正投影? （说明作法及理由），并求四面体?的体积3. 如图，四棱锥?- ?中， ? 底面 ?，? ? ，? = ? = ? = 3，? = ? = 4，?为线段 ? 上一点， ?= 2? ，?为 ? 的中点（1）证明 ? 平面 ?；（2）求四面体?- ? 的体积4. 如图，在平行四边形?中， ? = ? = 3， ?= 90，以 ? 为折痕将? 折起，使点 ? 到达点 ?的位置，且? ? （1）证明：平面 ?平面 ?；（2）?为线段 ? 上一点， ?为线段 ? 上一点，且? = ? =23? ，求三棱锥?- ?的体积5. 如图，在三棱锥?-?中，平面 ?平面 ?， ?为等边三角形，? ? 且 ? =? = 2， ? ，? 分别为 ? ，? 的中点（1）求证： ?平面 ?；（2）求证：平面 ? 平面 ?；（3）求三棱锥?-?的体积6. 如图，在三棱锥?- ?中， ? = ? = 2 2，? = ? = ? = ? = 4，?为 ? 的中点（1）证明： ? 平面 ?；（2）若点 ?在棱 ? 上，且 ? = 2? ，求点 ?到平面 ? 的距离7. 如图，矩形?所在平面与半圆弧? 所在平面垂直，? 是 ? 上异于 ? ，?的点（1）证明：平面 ? 平面 ?；（2）段? 上是否存在点? ，使得 ? 平面 ?说明理由8. 如图，在四棱锥?- ?中，底面?为矩形，平面?平面 ?， ? ? ，? =? ，? ，?分别为 ? ，? 的中点（1）求证： ? ? ；（2）求证：平面 ?平面 ?；（3）求证： ?平面 ?；9. 如图四面体?中， ?是正三角形，? = ?1. 证明： ? ? ；2. 已知 ?是直角三角形，? = ? ，若 ?为棱 ? 上与 ?不重合的点，且? ?，求四面体 ?与四面体?的体积比10. 如图，四棱锥?-?中，侧面?为等边三角形且垂直于底面?，? = ? =12? ， ?= ?= 90（ 1）证明：直线 ? 平面 ?；（ 2）若 ?面积为 2 7，求四棱锥?-?的体积11. 如图，在四棱锥?- ?中， ? ? ，且 ?= ?= 90（ 1）证明：平面 ?平面 ?；（ 2）若 ? = ? = ? = ? ，?= 90，且四棱锥?-?的体积为83，求该四棱锥的侧面积12. 如图，在三棱锥?-?中， ? ? ，? ? ， ? ? ， ? = ? = ? = 2，?为线段? 的中点， ?为线段 ? 上一点（ 1）求证： ? ? ；（ 2）求证：平面 ? 平面 ?；（ 3）当 ?平面 ?时，求三棱锥?-?的体积13. 如 图 ， 在 四 棱 锥?- ? 中 ， ? 平面 ?,? ?, ? ?, ? = 1, ? = 3,? =4,? = 2（ 1）求异面直线? 与 ? 所成角的余弦值；（ 2）求证： ? 平面 ?；（ 3）求直线 ? 与平面 ?所成角的正弦值14. 由四棱柱?- ?1?1?1?1截去三棱锥?1- ?1?1后得到的几何体如图所示，四边形?为正方形， ?为 ? 与 ? 的交点， ?为 ? 的中点， ?1?平面 ?（ 1）证明： ?1? 平面 ?1?1；（ 2）设 ?是 ? 的中点，证明：平面?1? 平面 ?1?115. 如图，在四棱锥?- ?中， ? 平面 ?，? ，? ?（ 1）求证： ? 平面 ?；（ 2）求证：平面 ?平面 ?；（ 3）设点 ?为 ? 的中点在棱? 上是否存在点? ，使得 ?平面 ?说明理由16. 在如图所示的几何体中，?是 ? 的中点， ? ? （ 1）已知 ? = ? ，? = ?求证： ? ? ；（ 2）已知 ?、 ?分别是 ? 和 ? 的中点，求证：? 平面 ?17. 如图，菱形?的对角线? 与 ? 交于点 ? ，点 ? ， ?分别在? ， ? 上， ? = ? ，?交 ? 于点 ? 将 ?沿 ? 折到 ?的位置（ 1）证明： ? ?；（ 2）若 ? = 5， ? = 6，? =54，? = 2 2，求五棱锥? - ?的体积18. 如图，四棱锥?-?中， ? 底面 ?，? ? ，? = ? = ? = 3，? = ? = 4，?为线段 ? 上一点， ? = 2? ，?为 ? 的中点（ 1）证明： ? 平面 ?；（ 2）求四面体?- ? 的体积19. 将边长为 1 的正方形?1?1? （及其内部）绕?1旋转一周形成圆柱，如图，? 长为56，?1?1长为3，其中 ?1与 ?在平面 ?1?1?的同侧（ 1）求圆柱的体积与侧面积；（ 2）求异面直线?1?1与 ? 所成的角的大小20. 如图，在四棱锥中?-?中， ? ? ，? ?， ?= ?= 90，? = ? =12? （ 1）在平面 ? 内找一点? ，使得直线? 平面 ?，并说明理由；（ 2）证明：平面?平面 ?21. 如图，圆锥的顶点为? ，底面圆心为? ，底面的一条直径为? ，?为半圆弧? 的中点， ?为劣弧 ? 的中点，已知? = 2，? = 1，求三棱锥?- ?的体积，并求异面直线? 与 ?所成角的余弦值22. 如图，长方体?-?1?1?1?1中 ? = 16，? = 10，?1= 8，点 ? ，?分别在 ?1?1，?1?1上， ?1?= ?1?= 4过点 ? ，?的平面 ?与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（ 1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（ 2）求平面 ?把该长方体分成的两部分体积的比值23. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，（ 1）请将字母? ，? ，?标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（ 2）判断平面?与平面 ?的位置关系，并证明你的结论；（ 3）证明：直线? 平面 ? 24. 如图，三棱锥?- ?中， ? 平面 ?，? = 1，? = 1，? = 2， ?= 60，（ 1）求三棱锥?- ?的体积；（ 2）证明：段? 上存在点?，使得 ? ? ，并求?的值25. 如图，三棱台?- ?中， ? = 2? ，? ，?分别为 ? ，? 的中点（ 1）求证： ? 平面 ?；（ 2）若 ? ?，? ? ，求证：平面?平面 ?26. 如图，三角形?所在的平面与长方形?所在的平面垂直，? = ? = 4，? = 6，? =3（ 1）证明： ?平面 ?；（ 2）证明： ? ? ；（ 3）求点 ?到平面 ?的距离27. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马?-?中，侧棱 ? 底面 ?，且 ? = ? ，点 ?是 ? 的中点，连接? ，? ，? （ 1）证明：? 平面 ?试判断四面体?是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由（ 2）记阳马 ?- ?的体积为?1，四面体?的体积为 ?2，求?1?2的值28. 如图，直三棱柱?- ?1?1?1的底面是边长为2 的正三角形，? ，?分别是 ? ， ?1的中点（ 1）证明：平面 ?平面 ?1?1；（ 2）若直线 ?1?与平面 ?1?1所成的角为45，求三棱锥?- ?的体积29. 如图， ? 是圆 ?的直径，点?是圆 ?上异于? ，?的点， ? 垂直于圆?所在的平面，且? = ? = 1（ 1）若 ?为线段 ? 的中点，求证：? 平面 ?；（ 2）求三棱锥?- ?体积的最大值；（ 3）若 ? = 2，点 ?段 ? 上，求 ? + ? 的最小值30. 如图，四边形?是平行四边形，平面?平面 ?，? ?，? = 2，? = ? = 1，? = 6，? = 3， ?= 60，?为 ? 的中点（ 1）求证： ?平面 ?；（ 2）求证：平面 ? 平面 ?；（ 3）求直线 ? 与平面 ?所成角的正弦值. 31. 如图，四边形?为菱形， ?为 ? 与 ? 的交点， ? 平面 ?（ 1）证明：平面 ?平面 ?；（ 2）若 ?= 120，? ?，三棱锥?-?的体积为63，求该三棱锥的侧面积32. 如图，已知?1平面 ?，?1?1，? = ? = 3，? = 2 5，?1= 7，?1= 2 7，点 ?和 ?分别为 ? 和 ?1?的中点（ 1）求证： ?平面 ?1?1? ；（ 2）求证：平面 ?1平面 ?1；（ 3）求直线 ?1?1与平面 ?1所成角的大小33. 如图，在三棱柱?- ?1?1?1中， ?= 90，? = ? = 2，?1?= 4，?1在底面 ?的射影为 ? 的中点， ?是 ?1?1的中点（ 1）证明： ?1?平面 ?1? ；（ 2）求直线 ?1?和平面 ?1?1?所成的角的正弦值34. 如图，三棱锥?-? 中，平面 ?平面 ?， ?=2，点? ， ?段? 上，且? = ? = ? = 2，? = ? = 4，点 ?段 ? 上，且 ? （ 1）证明： ? 平面 ?；（ 2）若四棱锥?- ?的体积为 7，求线段? 的长35. 如图（ 1），在直角梯形?中， ? ? ， ?=2，? = ? =12? = ? ，?是 ? 的中点， ?是 ? 与 ? 的交点将?沿 ? 折起到图（2）中 ?1? 的位置，得到四棱锥?1- ?（ 1）证明： ? 平面 ?1? ；（ 2）若 平面 ?1? 平面 ?，四棱锥 ?1-?的体积为 36 2，求 ?的值答案第一部分1. （ 1） 设 ? 的中点为? ，连接 ? ，? ，在 ?中，因为 ?是 ? 的中点，所以 ? ? ，且 ? =12? = 1，又因为 ? ，? ? ，所以 ? ，且 ? = ? ，即四边形?是平行四边形，所以 ? ，因为 ? ? 平面 ?， ? ? 平面 ?，所以 ?平面 ?（ 2） 在 ?中， ? = 1，? = 2， ?= 60，由余弦定理可得? = 3，进而得?= 90，即 ? ? ，又因为 平面 ?平面 ?，? ? 平面 ?，平面 ?平面 ?= ? ，所以 ? 平面 ?，因为 ? ? 平面 ?，所以 平面 ? 平面 ?（ 3） 因为 ? ?，所以直线? 与平面 ?所成的角即为直线? 与平面 ?所形成的角，过点 ?作 ? ? 于点 ? ，连接 ? ，又平面 ?平面 ?= ? ，由（ 2）知 ? 平面 ?，所以直线? 与平面 ?所成的角为?，在 ?，? = 1，? = 3，? = 6，由余弦定理得cos?=23，所以 sin ?= 53，所以 ? = ? ? 53= 53，在 Rt ? 中， sin ?=?= 56，所以直线? 与平面 ?所成角的正弦值为 562. （ 1） 因为 ?在平面 ?内的正投影为? ，所以 ? ? 因为 ?在平面 ?内的正投影为? ，所以 ? ? 所以 ? 平面 ?，故 ? ? 又由已知可得，? = ? ，从而 ?是 ? 的中点（ 2） 如图，在平面?内，过点?作 ? 的平行线交? 于点 ? ， ?即为 ?在平面 ?内的正投影理由如下：由已知可得? ? ，? ?，又 ? ，所以 ? ?，? ? ，因此 ? 平面 ?，即点 ?为 ?在平面 ?内的正投影连接 ?，因为 ?在平面 ?内的正投影为? ，所以 ?是正三角形?的中心，由（ 1）知， ?是 ? 的中点，所以 ?在 ? 上，故 ? =23? 由题设可得? 平面 ?，? 平面 ?，所以 ? ? ，因此 ? =23? ，? =13?由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且? = 6，可得 ? = 2，? = 2 2在等腰直角三角形?中，可得? 。