2022年全等证明解题方法归纳.docx

第 1 部分 全等基础学问归纳、小结】1 、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中,相互重合的顶点叫做 对应顶点 ,相互重合的边叫 对应边 ,相互重合的角叫 对应角 ；概念深化懂得：（1 ）外形一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形； （外观长的像）（2 ）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形； （位置变化）图 1 图 2 图 32 、全等三角形的表示方法： 如△ ABC 和△ A′ B′是C全′等的,记作“△ ABC ≌△ A′ B′”C′其中,“≌”读作“全等于” ；记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上；3 、全等三角形的性质：全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题；（ 1 ）全等三角形的对应角相等、对应边相等；（ 2 ）全等三角形的对应边上的高,中线,角平分线对应相等；（ 3 ）全等三角形周长,面积相等；4 、查找对应元素的方法（1 ）依据对应顶点找假如两个三角形全等, 那么, 以对应顶点为顶点的角是对应角； 以对应顶点为端点的边是对应边；通常情形下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素；（2 ）依据已知的对应元素查找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边；（3 ）通过观看,想象图形的运动变化状况,确定对应关系；通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观看和分析, 可以看出其中一个是由另一个经过以下各种运动而形成的；运动一般有 3 种：平移、对称、旋转；5 、全等三角形的判定： （深化懂得）①边边边（ SSS ） ②边角边（ SAS ） ③角边角（ ASA ） ④角角边（ AAS ）⑤斜边,直角边（ HL ） 留意：（简单出错）（ 1 ）在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等（边定全等） ；（ 2 ）不能证明两个三角形全等的是,㈠三个角对应相等,即 AAA ；㈡有两边和其中一角对应相等,即 SSA ；全等三角形是讨论两个封闭图形之间的基本工具, 同时也是移动图形位置的工具； 在平面几何学问应用中, 如证明线段相等或角相等, 或需要移动图形或移动图形元素的位置, 经常需要借助全等三角形的学问；6 、常见帮助线写法： （照着帮助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如： ⑴过点 A 作 BC 的平行线 AF 交 DE 于 F⑵过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 D⑶延长 AB 至 C,使 BC ＝ AC⑷在 AB 上截取 AC,使 AC ＝DE⑸作∠ ABC 的平分线,交 AC 于 D⑹取 AB 中点 C,连接 CD 交 EF 于 G 点同一条帮助线,可以说法不一样,那么得到的条件、证明的方法也不同；C'【第 2 部分 中点条件的运用】A'BO1 、仍原中心对称图形（倍长中线法） B'A中心对称与中心对称图形学问： C把一个图形围着某一个点旋转 180 °,假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称, 这个点叫做对称中心； 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点；中心对称的两条基本性质：（1 ）关于中心对称的两个图形, 对称点所连线段都经过对称中心, 而且被对称中心所平分；（2 ）关于中心对称的两个图形是全等图形；中心对称图形把一个图形围着某一个点旋转 180°,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心； （一个图形）如：平行四边形线段本身就是中心对称图形 ,中点就是它的对称中心, 所以遇到中点问题, 依靠中点借助帮助线仍原中点对称图形,可以把分散的条件集中起来（ 集散思想 ）；A例 1 、 AD 是△ ABC 中 BC 边上的中线,如 AB 2 , AC 4 ,就 AD 的取值范畴是 ；B D C例 2 、已知在 △ ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 上一点,延长 BE 交 AC 于 F,AAF EF,求证： AC BE；FEB D C例 3 、如图, D 是△ ABC 的边 BC 上的点,且 CD=AB ,∠ ADB= ∠ BAD ,AE 是△ ABD的中线；求证： AC=2AE例 4 △ ABC 中, AD 、BE、 CF 是三边对应中线； （就 O 为重心）求证：① AD 、 BE、CF 交于点 O ；（类倍长中线） ； ② SAOBS BOCS COAAF EOB D C练习1 、在△ ABC 中, D 为 BC 边上的点,已知∠ BAD ∠ CAD ,BD CD ,求证： AB ACAB D C2 、如图,已知四边形 ABCD 中, AB CD ,M、N 分别为 BC 、AD 中点,延长 MN 与 AB 、ECD 延长线交于 E、F,求证∠ BEM ∠CFM FADB CM3 、如图, AB=AE ,AB ⊥ AE ,AD=AC ,AD ⊥ AC ,点 M 为 BC 的中点,求证： DE=2AM（基本型：同角或等角的补角相等、 K 型）EDAB M C2 、两条平行线间线段的中点（ “八字型 ”全等） A l1如图,l1∥ l2 ,C 是线段 AB 的中点,那么过点 C 的任何 Cl2直线都可以和二条平行线以及 AB 构造 “8字型 ”全等 B例 1 已知梯形 ABCD , AD ∥ BC ,点 E 是 AB 的中点,连接 DE 、CE ；求证：S DEC1 A DS梯ABCD2EB C例 2 如图,在平行四边形 ABCD 中, AD=2AB ,M 是 AD 的中点, CE ⊥ AB 于点 E,∠ CEM=4°0 ,求∠ DME 的大小；（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）A M DEB C例 3 已知 △ ABD 和△ ACE 都是直角三角形,且∠ ABD ∠ ACE=90° ,连接 DE ,设 M 为DE 的中点；⑴求证： MB MC ；⑵设∠ BAD ∠ CAE ,固定 Rt △ ABD ,让 Rt △ ACE移至图示位置,此时 MB MC 是否成立？请证明你的结论；AACEMDE D CMB B练习 1 、已知：如图,梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ ABC=90° ．如 BD=BC ,F 是 CD 的中点,试问：∠ BAF 与∠ BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；A DFB C2 、Rt △ ABC 中,∠ BAC=90 ° ,M 为 BC 的中点,过 A 点作某直线 l ,过 B 作 BD l 于点 D ,过 C 作 CE l 于点 E；（1 ）求证： MD=ME（2 ）当直线 l 与 CB 的延长线相交时,其它条件不变, （ 1 ）中的结论是否任然成立？E ll AADDB M CB M CE3 、如图（ 1 ）,在正方形 ABCD 和正方形 CGEF （ CG ＞ BC ）中,点 B 、C、G 在同始终线上, M 是 AE 的中点,（ 1 ）探究线段 MD 、MF 的位置及数量关系,并证明；（2 ）将图（ 1）中的正方形 CGEF 绕点 C 顺时针旋转,使正方形 CGEF 的对角线 CE 恰好与正方形 ABCD 的边 BC 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变； （ 1 ）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （结合前面 “8字型 ”全等,认真摸索）F E FA DMA MD EB CB C GG3 、构造中位线三角形中位线 定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线 性质 ：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．重点区分 ：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开, 三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段；（全等法）在 △ ABC 中, D 、E 分别是 AB 、AC 边的中点,证明： DE ∥ BC, DE= 1 BC2A证明：延长 DE 至 F 点,使 DE=EF ,连接 CF（倍长中线）D E FB C三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来, 将题目给出的分散条件集中起来（集散思想） ；注：题目中给出多个中点时,往往中点仍是不够用的；例 1 在四边形 ABCD 中, E、F、 G、 H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点； A求证：四边形 EFGH 是平行四边形； HE DGB F C例 2 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,且 AC=BD , M、 N 分别是 AB 、CD 的中点, MN 分别交 BD 、AC 于点 E、F.A你能说出 OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？ DOME F NB C练习 1 、三角形 ABC 中, AD 是∠ BAC 的角平分线, BD ⊥ AD ,点 D 是垂足,点 E 是边BC 的中点,假如 AB=6 , AC=14 ,求 DE 的长； ADB E C2 、AB ∥ CD , BC∥ AD ,DE ⊥ BE , DF=EF ,甲从 B 动身,沿着 BA->AD->DF 的方向运动, 乙 B 动身, 沿着 BC->CE->EF 的方向运动, 假如两人的速度是相同的, 且同时从 B动身,就谁先到达 F 点？ DA FCEB3 、等腰 Rt △ ABC 与等腰 Rt △CDE 中,∠ ACB= ∠ EDC=90 ° ,连 AE 、BE ,点 M 为 BE的中点,连 DM ；（1 ）当 D 点在 BC 上时,求 DM 的值AE（2 ）当 △ CDE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角时,上结论是否任然成立,试证明BBM MDE E DA C A C4 、△ ABC 、△ CEF 都为等腰直角三角形,当 E、F 在 AC 、BC 上,∠ ACB=90 ° ,连 BE 、AF。