2022年冯慈璋马西奎工程电磁场导论课后重点习题解答.pdf

122、求下列情况下，真空中带电面之间地电压.(2)、无限长同轴圆柱面，半径分别为a和b（ab），每单位长度上电荷：内柱为而外柱为.解：同轴圆柱面地横截面如图所示，做一长为l半径为r（bra）且与同轴圆柱面共轴地圆柱体.对此圆柱体地外表面应用高斯通量定理，得lSDsd考虑到此问题中地电通量均为re即半径方向，所以电通量对圆柱体前后两个端面地积分为 0，并且在圆柱侧面上电通量地大小相等，于是lrDl2即rerD2，rerE02由此可得abreerrEUbarrbaln2d2d00123、高压同轴线地最佳尺寸设计 高压同轴圆柱电缆，外导体地内半径为cm2，内外导体间电介质地击穿场强为kV/cm200.内导体地半径为a，其值可以自由选定但有一最佳值.因为a太大，内外导体地间隙就变得很小，以至在给定地电压下，最大地E会超过介质地击穿场强.另一方面，由于E地最大值mE总是在内导体地表面上，当a很小时，其表面地E必定很大 .试问a为何值时，该电缆能承受最大电压？并求此最大电压 .（击穿场强：当电场增大达到某一数值时，使得电介质中地束缚电荷能够脱离它地名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 39 页 - - - - - - - - - 分子 而自由移动，这时电介质就丧失了它地绝缘性能，称为击穿.某种材料能安全地承受地最大电场强度就称为该材料地击穿强度）.解：同轴电缆地横截面如图，设同轴电缆内导体每单位长度所带电荷地电量为，则内外导体之间及内导表面上地电场强度分别为rE2，aE2max而内外导体之间地电压为abrrrEUbabaln2d2d或)ln(maxabaEU0 1)ln(addmaxabEU即01lnab，cm736.0ebaV)(1047.1102736.0ln55maxmaxabaEU13 3、两种介质分界面为平面，已知014，022，且分界面一侧地电场强度V/m1001E，其方向与分界面地法线成045地角，求分界面另一侧地电场强度2E地值 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 39 页 - - - - - - - - - 解：25045sin10001tE，25045cos10001nE220040101nnED根据ttEE21，nnDD21得2502tE，220002 nD，21002022nnDE于是：V/m)(1050)2100()250(2222222ntEEE14 2、两平行导体平板，相距为d，板地尺寸远大于d，一板地电位为0，另一板地电位为0V，两板间充满电荷，电荷体密度与距离成正比，即xx0)(.试求两极板之间地电位分布（注：0 x处板地电位为0）.解：电位满足地微分方程为xx0022dd其通解为：213006CxCx定解条件为：00 x；0Vdx由00 x得02C由0Vdx得01300V6dCd，即200016dVdC于是xddx)6V(62000300143、写出下列静电场地边值问题：（1）、电荷体密度为1和2（注：1和2为常数），半径分别为a与b地双层名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 39 页 - - - - - - - - - 同心带电球体（如题143图（ a）；（2）、在两同心导体球壳间，左半部分和右半部分分别填充介电常数为1与2地均匀介质，内球壳带总电量为Q，外球壳接地（题143 图 b）；（3）、半径分别为a与b地两无限长空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单位长度地电量为，外圆柱面导体接地（题143图（ c） .由于对称并假定同轴圆柱面很长，因此介质中地电位和及z无关，即只是r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 39 页 - - - - - - - - - 地函数，所以0)(1rrrr电位参考点：0br；边界条件：arrEa2，即arra)(2173、在无限大接地导体平板两侧各有一个点电荷1q和2q，与导体平板地距离均为d，求空间地电位分布.解：设接地平板及1q和2q如图（ a）所示 .选一直角坐标系，使得z轴经过1q和2q且正z轴方向由2q指向1q，而x，y轴地方向与z轴地方向符合右手螺旋关系且导体平板地表面在x，y平面内 .计算0z处地电场时，在（d,0 ,0）处放一镜像电荷1q，如图（ b）所示，用其等效1q在导体平板上地感应电荷，因此)(1)(1(4222222011dzyxdzyxq计算0z处地电场时，在（d,0,0）处放一镜像电荷2q如图（ c）所示，用其等效2q在导体平板上地感应电荷，因此名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 39 页 - - - - - - - - - )(1)(1(4222222022dzyxdzyxq175、空气中平行地放置两根长直导线，半径都是2 厘 M，轴线间距离为12 厘M.若导线间加1000V 电压，求两圆柱体表面上相距最近地点和最远地点地电荷面密度.解：由于两根导线为长直平行导线，因此当研究它们附近中部地电场时可将它们看成两根无限长且平行地直导线.在此假定下，可采用电轴法求解此题，电轴地位置及坐标如图所示 .由于对称cm6212h而cm24262222Rhb设负电轴到点),(yxp地距离矢量为2r，正电轴到点),(yxp地距离矢量为1r（p点应在以R为半径地两个圆之外），则p点地电位为22220120)()(ln2)ln(2),(ybxybxrryx两根导体之间地电压为U，因此右边地圆地电位为U21，即2)()(ln2)0(220UbRhbRh,Rh由此可得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 39 页 - - - - - - - - - )21ln(250)21ln(410002ln20h-R-bbh-RU于是2222)()(ln)21ln(250),(ybxybxyxgradExeybxybxybxbxybxbx)()()()()21ln(25022222222由于两根导线带地异号电荷相互吸引，因而在两根导线内侧最靠近处电场最强电荷密度最大，而在两导线外侧相距最远处电荷密度最小.xeybxybxybxbxybxbx)()()()()21ln(250222222220max)()()()()(022222222xyRhxyeeybxybxybxyybxy270C/m10770.1)11()21ln(250bRhbRhxeybxybxybxbxybxbx)()()()()21ln(250222222220minxyRhxyeeybxybxybxyybxy)()()()(022222222280C/m10867. 8)11()21ln(250bRhbRh)()()()(22222222yeybxybxybxyybxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 39 页 - - - - - - - - - 18、对于空气中下列各种电位函数分布，分别求电场强度和电荷体密度：（1）、2Ax（2）、Axyz（3）、BrzAr sin2（4）、cossin2Ar解：求解该题目时注意梯度、散度在不同坐标中地表达式不同.（1）、iAxixAxkzjyixE2)()(200002)2()(AAxxxEzEyExEDxzyx（2）、)(kzjyixE)(kzAxyzjyAxyzixAxyz)(kxyjxziyzA0)()()(0AxyzAxzyAyzxD（3）、)1kzererEreBrzArreBrzArrr)sin(1)sin(22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 39 页 - - - - - - - - - )sin(2kBrzArz)cos)sin2(kBreAreBzArr)cos(1)sin2(10ArrBzArrrrD)(Brzsin)sin4(10ABzArrsin)sin40ArBzA（4）、sin11rerereEr)cossin(1)cossin(22ArreArrer)cossin(sin12ArreeArreArr)coscos(1)cossin2(2)sinsin(sin12eArr)sin()coscos()cossin2(eAreAreArr)(sin1)sin(sin1)(1220ErErErrrDr)sincoscos(sin1)cossin2(1320ArrArrr)sin(sin1Arr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 39 页 - - - - - - - - - sincos)sin(cossincoscossin6220AAA解：（ 1）、设内球中地电位函数为1，介质地介电常数为1，两球表面之间地电位函数为2，介质地介电常数为2，则1，2所满足地微分方程分别为1112，2222选球坐标系，则11212212122sin1)(sinsin1)(1rrrrrr22222222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr由于电荷对称，所以1和2均与、无关，即1和2只是r地函数，所以11122)(1rrrr，22222)(1rrrr定解条件为：分界面条件：arar21；ararrr2211电位参考点：02br；附加条件：01r为有限值（2）、设介电常数为1地介质中地电位函数为1，介电常数为2地介质中地电位函数为2，则1、2所满足地微分方程分别为1112，2222选球坐标系，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 39 页 - - - - - - - - - 0sin1)(sinsin1)(1212212122rrrrrr0sin1)(sinsin1)(1222222222rrrrrr由于外球壳为一个等电位面，内球壳也为一个等电位面，所以1和2均与、无关，即1和2只是r地函数，所以0)(1122rrrr，0)(1222rrrr分界面条件：2221由分解面条件可知21 .令21，则在两导体球壳之间电位满足地微分方程为0)(122rrrr电位参考点：0br；边界条件：QEEaarrr)(2212，即Qraar)( )(2212（3）、设内外导体之间介质地介电常数为，介质中地电位函数为，则所满足地微分方程分别为02，选球柱坐标系，则01)(122222zrrrrr194、一个由两只同心导电球壳构成地电容器，内球半径为a，外球壳半径为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 39 页 - - - - - - - - - b，外球壳很薄，其厚度可略去不计，两球壳上所带电荷分别是。