高等量子力学-第6篇.docx

    高等量子力学    第1章 量子力学基本原理与方法§1.1 概论原子论. 古希腊哲学家, 伊壁鸠鲁(B.C )…德谟克里特(B.C )原子物质不可分为小微粒古希腊, 亚里士多德认为大自然由水、气、土、火四种元素组成； 中国古代五行说：金、木、水、火、土.近代科学意义, 道尔顿, 化学中原子具有稳定不变化的化学性质, 拉瓦锡的氧化理论——燃素说终结；经典力学, 牛顿《自然哲学的数学原理》, 1687年, 运动三定律与万有引力, 来自哥白尼, 开普勒, 伽利略, 笛卡尔…电磁学在牛顿理论体系内的不协调, 其实质是光的传播所需要的媒质到底是什么——以太.物理学革命前夜, 物理学天空的两朵乌云：紫外灾难, 以太光媒质.弗朗西斯.培根——读史使人明智, 读诗使人灵秀, 数学学使人严谨, 物理使人深刻, 逻辑使人善辩, 伦理使人庄重, 每有所学, 各有裨益. 浏览几本科普读物：1 爱因斯坦《物理学的进化》2 爱因斯坦《相对论浅说》3 霍夫曼 《量子史话》4 霍金 《时间简史》§1.2 分析力学简要回顾A. 最小作用量原理与Lagrange 方程设力学体系的L 函数记为:()1212,,...,,,...,n n L q q q q t ,或简记为:()(),,;1,2,...,i L q qt q i n = (A.1) 该函数足以确定一个体系运动状态, i q 为一组独立坐标, n 为体系的自由度, i q为广义速度. 设体系处于保守势中, V 为势能, T 为动能, 则有: L T V =- (A.2)如果V 为包含时间有关的外界作用量,则体系为非保守系,L 表示将显含时间t ,不作特别声明,一般认为V 不显含t .设体系在t 1时刻从O 点出发,经某点()q t 在t 2时刻到达P 点,对于每一条轨道,()q t 可定义作用量S 为：()21,t t S L q qdt =? (A.3) 其量纲为角动量. S 依赖于质点——即粒子所经过的轨道()q t ,即为()q t 的函数,这实际上是一个泛函的问题. 因为粒子可能通过各种路径到达. 真实的路径是“最佳”的,即作用量取最小值——称之为“最小作用量原理”. 即取S 的最小极值,当()q t 作无穷小变化时,即:()()()q t q t q t δ→+ (A.4)在()()120q t q t δδ==时, 0S δ= (A.5)注意(){}12,,...,n q t q q q t =. 求S 的变分如果不显含时间, 则有:21t i i ti i L LS dt q q q q δδδ????=+??????? (A.6)如果显含时间t , 则需加入Lt tδ??项. 注意()ii dq d dt dtδδδ??== ??? , 对(A.6)第二项作分部积分, 即: 22112211t t ii t t i i t ti i t t i i d q L L q dt dtq qdt L d L q q dt q dt q δδδδ??=??????=- ????????其中21ti t iL q q δ??项等于0.当0S δ=时210t i t i i L d L S dt q q dt qδδ??????∴=-=?? ???????∑? 可得Lagrange 方程:0,1,2,...i i L d Li n q dt q ????-==?????(A.7) 若取i q 为直角坐标, 则可表示为i x , 那么()21211,,...2ni n i L T V mx V x x x ==-=-∑ (A.8)则相应于直角坐标系的Lagrange 方程为i i iVm x F x ?=-=?, 正是牛顿方程. 然而在一般非直角坐标系下, 拉格朗日方程相应的并不是牛顿方程. 为什么用广义坐标具有优越性？因为如果我们定义广义动量i i LP q?=? , 广义力:i i iL V F q q ??==-?? (A.9) 则拉格朗日方程表达形式不变, 即i i i dP P F dt==(A.10) 2n 个初始条件()0i q (初始位置)和()0i q(广义初始速度), 即可求出方程的定解.显然拉氏方程较牛顿方程计算简单：一是免除了矢量计算, 二是大大简化了曲线坐标的运算. 另外牛顿方程形式只在直角坐标中成立, 曲线坐标中不可直接作用, 需要各种变换因子才能表达. 然而拉氏方程可直接用广义坐标表达且形式不变.B ．哈密顿Hamilton 正则方程在拉氏理论中, (),i i L q q表示为广义坐标和广义速度的函数, 即: ()1212,,...,,,...n n L q q q q 而广义动量则为：i iLp q ?=? (B.1) 引入一个体系的哈密顿量, 用q, p 表示为：()(),,i i i i H q p p q L q q=-∑ (B.2) 这里把,i i p q 看作独立坐标变量, H 为2n 个独立变量的函数, 由上述两式可得：j ji j i j j i i j i dq q H L q p qp dp qp ???=+-=???∑∑ 同理有：0j i ii i i i i i q H L Lp q q q q L p p t q t????=-=-?????????=-=-=- ??????∑即有：iii iH q p H p q ??=??????=-??? 1,2,...i n = (B.3) Hamilton 正则方程为有2n 个独立变量,i i p q , 而且满足一节时间导数的微分方程, 给出2n 个初始条件, 即可求出确定的方程解. 求解方程的方法由Jacobi 定成, 包括求解方法在内合称Jacobi —H 理论.用最小作用量原理同样可以导出Hamilton 方程, 即:()2211,,t t i i t t S dtL p q H q p t ??==-??∑?? (B.4) 对2n 个i i p q进行变分 21t i i i i i ti i H HS dt qp p q q p q p δδδδδ????=+--??????∑? 222111t t t i i i ii i t t t ddt p q p q dt pq dtδδδ=-?? 210t i i i i t i i H H S dt q p p q p q δδδ??????????∴=--+=????????????????∑? (B.5)故可得:1,2,...i i i H qp i n H pq ??=???=???=-??? 特例：如果系统处于保守立场中, 则H 可表示为H T V =+(B.6)H 即为体系的能量, T 为动能, V 为势能, 在直角坐标系中2112ni i T mx ==∑ i i i L p mx x ?==? 22i ii ip xm x T ==∑∑ i i H p xL T V ∴=-=+∑ 对于一般情况在曲线坐标系中, 如：ij i j ijT T =∑ (B.7) 同样可得:2i ip qT =∑ 及 H T V =+如J 与2r 有关等等, 在球坐标中表示中需要注意,θφ相关量与,J r 相关联.C.正则变换——泊松括号前述L 方程形式不因坐标选择不同而变化, 如作变换()12,,...1,2,...i i n q Q q q q i n == (C.1)简记为i i q Q → , 拉氏方程仍为0i i L d LQ dt Q ????-=?????1,2,...i n = (C.2)实际上 ()(),,L Q QL q q = 如动量变换: ii i i iq p P P Q ?==?∑ (C.3)例如：直角坐标→球坐标; 动量→动量矩i P 前需加r 项, 而r 因子可以从iiq Q ??∑中求得. 上述12C C 称为点变换. 在这种变换下L 方程的形式不变. 注意i i p P →的变换借助于i i q Q →的变换, 也意味着Hamilton 方程保持不变, 即:ii i i H Q P h P Q ??=??????=-???(C.4) 如果把H 看作L 理论的导出, 则L 氏理论是建立在2n 个坐标i q 和i Q 的位形空间. 那么13,C C 变换即可完全表述其变换特征.如果从最小作用量原理出发导出H 方程, 则H 函数是建立在i i q p 张开的2n 维相空间之中. 这时可用更普遍的面变换：(),q q Q P =, (),p P Q P = (C.5)形式上, Q, P 与q, p 完全对称, 但不一定能保证变换前后方程为正则形式. 类似于牛顿方程中, i iVm ?=? 仅在直角坐标中成立. 如果?i iVq Q θ?==?, 并非为力, 而是力矩, 如果变换(C.5)能保证H 方程仍为正则形式, 则称其为正则变换, 需满足一定条件.设变换为()(),,q Q q p P P q p →→则可得关系式[][]j j j j i i ii i i i i i i iQ Q Q Q H H Q q p q p q p p q ??????=+=+??????∑∑ (C.6) 而且H 变换关系需要满足：()(),,H q p H Q P =, 即： ()(),,k k k iik ik i H q p H Q P Q P H H p p Q p p p ??????????==+?? ???????????∑ (C.7')及()(),,k k k i i k i k i H q p H Q P Q P H H q q Q q p q ??????????==+?? ???????????∑ (C.7") 将上边两式乘上(C.6)式中的相应因子, 即(C.7')x j iQ q ??, (C.7")xj iQ p ??,而后代入(C.6)式整理, 得:j j j j k k k k jk k i i i i k i ii i Q Q Q Q Q Q P P H H Q Q q p q p p q p q p ????????????????=-+-?? ? ?????????????????∑∑∑ (C.8') 记作{}{},,j k j k k k k H HQ Q Q P Q P ????+??????∑ 同理 {}{},,jj k j k k k H HP P Q P P Q P ????=+??????∑ (C.8''){ }括号内的关系式称为Poisson 括号. 要使变换为正则形式(正则即保持原来方程形式不变), Possion 括号需要满足下列条件： {}{}{}{},,0,,j kjk jkjkjkQ Q P P Q P P Q δ====01jk j k j k δ≠?=?=?(C.9)上述条件与H 的。